大学生数学竞赛非数专题二（2）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:45:05

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专题二一元微分学（2）

知识点：

2.2 求导法则

（1）四则运法则：假设函数

u,v

可导，则

和差法则：

(u+v)^{'}=u^{'}+v^{'}

乘法法则：

(uv)^{'}=u^{'}v+uv^{'}

除法法则：

(\dfrac{u}{v})^{'}=\dfrac{u^{'}v-uv^{'}}{v^2}

（2）复合函数求导链式法则

(f(\varphi(x)))^{'}=f^{'}(\varphi(x))\varphi^{'}(x)

（3）反函数、隐函数与参数式函数求导法则

（4）取对数求导法则

f^{'}(x)=f(x)(\ln |(f(x)|)^{'}

例2.7 （浙江省2003年竞赛题）求

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{2^{-n}}{n(n+1)}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}k^2

解：首先根据二项式定理，可知

(1+x)^{n}=1+C_{n}^{1}x+\dotsb+C_{n}^{n}x^n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}x^{k}

两边求导一次，可以得

\displaystyle n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}\cdot kx^{k-1}

,两边同时乘以

，再求导一次，

n(1+x)^{n-1}+n(n-1)xx^{n-2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}\cdot k^2x^{k-1}

再令

x=1

，得

n\cdot2^{n-1}+n(n-1)\cdot2^{n-2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}\cdot k^2

化简一下得

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}\cdot k^2=\frac{1}{4}2^nn(n+1)

，所以

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{2^{-n}}{n(n+1)}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}\cdot k^2=\frac{1}{4}

例2.8 （江苏省1998年竞赛题）函数

f(x)=(x^2+3x+)|x^3-x|

的不可导点个数有几个？

解：根据函数的样式，可以假想函数是乘法公式的求导应用，令

u(x)=x^3+3x+2

v(x)=|x^3-x|

,显然

u(x)

处处可导，而

v(x)

在

x=-1,0,1

处不可导，在其他地方点点可导，

u(-1)=0,u(0)=2,u(1)=6

，

v^{'}_{-}(-1)=-2,v^{'}_{+}(-1)=2

；

v^{'}_{-}(0)=-1,v^{'}_{+}(0)=1

；

v^{'}_{-}(1)=-2,v^{'}_{+}(1)=2

，所以

f(x)=u(x)v(x)

,而

u^{'}_{\pm}(x)=u^{'}(x)

,则

f_{-}^{'}(x)=u^{'}v(x)+u(x)v^{'}_{-}(x)

，

f^{'}_{+}(x)=u^{'}v(x)+u(x)v^{'}_{+}(x)

，将

x=-1,0,1

分别带入上式得

f_{-}^{'}(-1)=u^{'}(-1)v(-1)+u(-1)v^{'}_{-}(-1)=0+0\cdot(-2)=2

f_{+}^{'}(-1)=u^{'}(-1)v(-1)+u(-1)v^{'}_{+}(-1)=0+0\cdot2=0

f_{-}^{'}(0)=u^{'}(0)v(0)+u(0)v^{'}_{-}(0)=0+2\cdot (-1)=-2

f_{+}^{'}(0)=u^{'}(0)v(0)+u(0)v^{'}_{+}(o)=0+2\cdot 1=2

f_{-}^{'}(1)=u^{'}(1)v(1)+u(1)v^{'}_{-}(1)=0+6\cdot(-2)=-12

f_{+}^{'}(1)=u^{'}(1)v(1)+u(1)v^{'}_{+}(1)=0+6\cdot 2=12

可知

f_{-}^{'}(0)\neq f_{+}^{'}(0)

，

f_{-}^{'}(1)\neq f_{+}^{'}(1)

，而

f_{-}^{'}(-1)=f_{+}^{'}(-1)

故有两个不可导点.

例 2.9 （南京大学1996年数学竞赛题）证明：两条心脏线

\rho=a(1+\cos \theta)

与

\rho=a(1-\cos \theta)

在交点处的切线相互垂直.

解：首先将参数方程化为直角坐标方程，对于

\rho=a(1+\cos \theta)

，化简得

x=a(1+\cos \theta)\cos \theta

，

y=a(1+\cos \theta)\sin \theta

,则斜率（导函数）为

\displaystyle k_{1}=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}=\dfrac{\cos \theta+\cos 2\theta}{-\sin \theta-\sin 2\theta}

同理对于

\rho=a(1-\cos \theta)

,则直角坐标为

x=a(1-\cos \theta)\cos \theta

y=a(1-\cos \theta)\sin \theta

，

同理斜率为

\displaystyle k_{2}=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}=\frac{\cos \theta-\cos 2\theta}{-\sin\theta+\sin 2\theta}

，求两条曲线的交点，联立方程组

\begin{cases}\rho=a(1+\cos \theta) \\\rho=a(1-\cos \theta)\end{cases}

解得

\cos \theta=0

所以交点坐标为

(\dfrac{\pi}{2},a)

和

(\dfrac{3\pi}{2},a)

，

在

\theta=\dfrac{\pi}{2}

处，

k_{1}=\dfrac{0-1}{-1-0}=1

，

k_{2}=\dfrac{0+1}{-1+0}=-1

，因为

k_{1}k_{2}=-1

，所以在

(\frac{\pi}{2},a)

处切线垂直；在

\theta=\dfrac{3\pi}{2}

处，

k_{1}=\dfrac{0-1}{-1-0}=1

，

k_{2}=\dfrac{0+1}{-1+0}=-1

，同理

k_{1}k_{2}=-1

，所以在

(\dfrac{3\pi}{2},a)

处切线垂直。

好了，今天的题目就到这里了，最近，个人认证通过了。第一题利用了二项式的展开式定理，后面主要是凑要求的式子，综合利用变形求得，最后直接变形就可以得出结果。（注意二项式定理的逆用）。第二题主要考察函数求导，注意乘法的公式的应用，再利用导数存在的必要条件，求出单个函数在某点左右（该点导数不存在）的导数值，最后带入即可。第三题是考察参数式的导数问题，首先求导数，先变为直角坐标，然后进行求导，注意切线垂直的应用，带入检验即可。有问题留言，谢谢大家的支持！

作者：小熊

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原始发表：2021-12-03，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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