大学生数学竞赛非数专题二（6）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:48:23

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专题二一元微分学（6）

2.2.6 利用洛必达法则求极限

知识点：

主要适用于

\dfrac{0}{0}

和

\dfrac{\infty}{\infty}

两种形式

2.31 （南京大学1995年竞赛题）求

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{2\ln(2-\cos x)-3[(1+\sin^2 x)^{\frac{1}{3}}-1]}{[x\ln(1+x)]^2}

解：记原式为

，

\begin{align*}I=\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{2\ln(2-\cos x)-3[(1+s\sin^2 x)^{\frac{1}{3}}-1]}{x^4}&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\dfrac{2\sin x}{2-\cos x}-(1-\sin^2 x)^{-\frac{2}{3}\sin x\cos x}}{4x^3}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{(1+\sin^2 x)^{\frac{2}{3}}-(2-\cos x )\cos x}{(2-\cos x)2x^2(1+\sin^2 x)^{\frac{2}{3}}}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\frac{2}{3}(1+\sin^2 x)^{-\frac{1}{3}}\sin 2x+2\sin x-\sin 2x}{4x}\\&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(1+\sin^2 x)^{-\frac{1}{3}}\frac{\sin 2x}{4x}+\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{2\sin x}{4x}-\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin 2x}{4x}\\&=\frac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\end{align*}

2.32 （江苏省2012年竞赛题）设

f(x)

在

x=0

三阶可导，且

f^{'}(0)=0

，

f^{''}(0)=3

，

f^{'''}(0)=2

，求极限

\displaystyle\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{f(e^x-1)-f(x)}{x^3}

解：根据洛必达法则和等价无穷小，记原式为

，有

\begin{align*}I=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{e^xf^{'}(e^x-1)-f^{'}(x)}{3x^2}&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{e^xf^{'}(e^x-1)-e^{2x}f^{''}(e^x-1)-f^{''}(x)}{6x}\\&=\frac{1}{6}[\underset{x\rightarrow 0}{\lim}e^x\frac{f^{'}(e^x-1)-f^{'}(0)}{e^x-1}+\underset{x\rightarrow 0}{\lim}e^{2x}\frac{f^{''}(e^x-1)-f^{''}(0)}{e^x-1}-\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f^{''}(x)-f^{''}(0)}{x}+\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{3(e^{2x}-1)}{x}]\\&=\frac{1}{6}(f^{''}(0)+f^{'''}(0)-f^{''}(0)+6)=\frac{3}{2}\end{align*}

2.33 （全国大学生2009年预赛题）求

\displaystyle\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(\frac{e^x+e^{2x}+\dotsb+e^{nx}}{n})^{\dfrac{e}{x}}

，其中

是一个确定的正整数。

解：根据

的重要极限，还有洛必达法则，记原式为

，

\begin{align*}\displaystyle I&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(1+\frac{e^x+e^{2x}+\dotsb+e^{nx}-n}{n})^{\dfrac{n}{e^x+e^{2x}+\dotsb+e^{nx}-n}\cdot\dfrac{(e^x+e^{2x}+\dotsb+e^{nx}-n)e}{n}}\\&=\exp(\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{(e^x+e^{2x}+\dotsb+e^{nx}-n)e}{nx})\\ &=\exp(\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{(e^x+2e^{2x}+\dotsb+ne^{nx}-n)e}{n})\\&=e^{\frac{n+1}{2}e}\end{align*}

好了，题目就到这里了，注意洛必达应用的条件，以及e的重要极限，注意积累。有问题留言.

作者：小熊

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原始发表：2021-12-10，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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