1单调性 2极值 3最值 4凹凸性、拐点 5作函数图像 6渐近线:水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线
2.34 (江苏省2012年竞赛题) 求一个次数最低的多项式
,使得它在
时取极大值
,且
是曲线
的拐点。
解:设
,积分一次可得
,再积分一次,得
;根据题意知
,
,
,解得
;所以多项式为
2.35 (江苏省1996年竞赛题) 设
试讨论
的连续性,并求单调区间、极值与渐近线。
解:首先
,可以得
而
,所以
在
处右连续,当
时,
是初等函数,
所以
在定义区间是连续的;而当
时,
,令
,解得
,显然当
时,
;当
时,
;
所以
在
上单调递增,在
上单调递减;根据单调性,
的最大值(极大值)为
,没有极小值;而
所以
有水平渐近线
。
2.36 (浙江省2009年竞赛题) 设函数
满足
,且
。证明:
,
。
解:记
.根据
,可知函数是凹的,
所以对于
内,有
取
内,考虑连接点
的折线,有
根据
是凹函数,可知
,所以有
即
,
所以,根据
和
知,
,有
,即
。
好了,今天的题目就到这里了,三个题目都很有趣,注意单调性以及凹凸性的应用,以及渐近线的应用。有问题欢迎留言。
作者:小熊