大学生数学竞赛非数专题三（2）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:56:37

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专题三一元积分学（2）

3.2 求不定积分

基本方法：（1）换元积分法（2）分部积分法

积分类型：无理函数积分、三角函数积分

3.5 （北京市1995年竞赛题）设

是由方程

y^3(x+y)=x^3

所确定的隐函数，求

\displaystyle \int\frac{1}{y^3}dx

解：利用换元，令

x=ty

，带入原式有，

y^4(t+1)=t^3y^3

，整理得，

y=\dfrac{t^3}{1+t}

，

x=\dfrac{t^4}{1+t}

，所以

\begin{align*}\displaystyle\int\frac{1}{y^3}dx & =\int\frac{(1+t)^3}{t^9}\cdot\frac{t^3(3t+4)}{(1+t)^2}dt\\&=\int(\frac{3}{t^4}+\frac{7}{t^5}+\frac{4}{t^6})dt=-(\frac{1}{t^3}+\frac{7}{4}\cdot\frac{1}{t^4}+\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{t^5})+C\\&=-((\frac{y}{x})^3+\frac{7}{4}(\frac{y}{x})^5+\frac{4}{5}(\frac{y}{x})^5)+C\end{align*}

3.6 （江苏省2000年竞赛题）求

\displaystyle \int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx

解：换元，令

x^2=t

，有

\begin{align*}\displaystyle \int\frac{x(x^4-1)}{x^8+1}dx&=\frac{1}{2}\int\frac{t^2-1}{t^4+1}dt=\frac{1}{2}\int\frac{1-\frac{1}{t^2}}{t^2+\frac{1}{t^2}}dt\\&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{(t+\frac{1}{t})^2-2}d(t+\frac{1}{t})\\&=\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln|\frac{\sqrt{2}-(t+\frac{1}{t})}{\sqrt{2}+(t+\frac{1}{t}))}|+C\\&=\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln|\frac{\sqrt{2}x^2-x^4-1}{\sqrt{2}x^2+x^4+1}|+C\end{align*}

3.7 （全国大学生2013年决赛题）计算不定积分

\displaystyle \int x\arctan x\ln(1+x^2)dx

解：根据分部积分的规则，令

x\ln(1+x^2)dx=dv

，则

\begin{align*}\displaystyle v&=\int x\ln(1+x^2)dx=\frac{1}{2}\int \ln(1+x^2)d(1+x^2)\\&=\frac{1}{2}(1+x^2)\ln(1+x^2)-\int\frac{1+x^2}{1+x^2}d(x^2)\\&=\frac{1}{2}[(1+x^2)\ln(1+x^2)-x^2]+C\end{align*}

再直接分部积分公式有

\begin{align*}\displaystyle\int x\arctan x\ln(1+x^2)dx&=\int\arctan xd(\frac{1}{2}[(1+x^2)\ln(1+x^2)-x^2])\\&=\frac{1}{2}[(1+x^2)\ln(1+x^2)-x^2]\arctan x-\frac{1}{2}\int(\ln(1+x^2)-\frac{x^2}{1+x^2})dx\\&=\frac{1}{2}[(1+x^2)\ln(1+x^2)-x^2]\arctan x-\frac{1}{2}[x\ln(1+x^2)-3x+3\arctan x]+C\\&=\frac{1}{2}[(1+x^2)\ln(1+x^2)-x-3]\arctan x-\frac{1}{2}[x\ln(1+x^2)-3x]+C\end{align*}

3.8 （江苏省2002年竞赛题）求

\displaystyle \int \arcsin x\arccos xdx

解：直接将

\arcsin x\arccos x

看成整体

，则

\begin{align*}\displaystyle\int \arcsin x\arccos xdx &=x\arcsin x\arccos x-\int x\cdot(\frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}})dx\\&=x\arcsin x\arccos x+\int(\arcsin x-\arccos x)d(\sqrt{1-x^2})\\&=x\arcsin x\arccos x+(\arcsin x-\arccos x)\sqrt{1-x^2}-\int\sqrt{1-x^2}(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})dx\\&=x\arcsin x\cdot\arccos x+(\arccos x-\arcsin x)\sqrt{1-x^2}+2x+C\end{align*}

今天的题目就到这里了，主要就是积分基本方法的应用，注意常见函数的不定积分，其次注意分部积分的基本规则，反复凑微分，换元，将复杂的积分简单化，一步一步求解，求出结果，加以简化。有问题留言。

作者：小熊

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原始发表：2021-12-14，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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