大学生数学竞赛非数专题三（3）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:57:10

3480

发布于 2022-11-23 16:57:10

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界灰灰的数学与机械世界

专题三一元积分学（3）

3.3 利用定积分的定义求极限

3.9 （莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题）求

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\left[\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{2^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\dotsb+\frac{2^\frac{n}{n}}{n+\frac{1}{n}}\right]

解：首先令

\displaystyle x_{n}=\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{2^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\dotsb+\frac{2^\frac{n}{n}}{n+\frac{1}{n}}

，再放缩法，则

\displaystyle\frac{n}{n+1}(2^{\frac{1}{n}}+2^\frac{2}{n}+\dotsb+2^\frac{n}{n})\frac{1}{n}\leq x_{n}\leq (2^{\frac{1}{n}}+2^\frac{2}{n}+\dotsb+2^\frac{n}{n})\frac{1}{n}

根据定积分的定义得

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(2^{\frac{1}{n}}+2^\frac{2}{n}+\dotsb+2^\frac{n}{n})\frac{1}{n}=\int_{0}^{1}2^xdx=\frac{2^x}{\ln 2}\bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{\ln 2}

而

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{n}{n+1}=1

，所以原式

=\frac{1}{\ln 2}

3.10 （南京大学1995年竞赛题）求

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}+\dotsb+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}})

解：根据定积分得定义有

原式

=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{i}{n})^2}}\cdot\frac{1}{n}=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\bigg|_{0}^{1}=\ln(1+\sqrt{2})

.3.11 （浙江省2007年竞赛题）设

\displaystyle u_{n}=1+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{2}{6}+\dotsb+\frac{1}{3n-2}+\frac{1}{3n-1}-\frac{2}{3n}

\displaystyle v_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dotsb+\frac{1}{3n}

，求：（1）

\dfrac{u_{10}}{v_{10}}

；（2）

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}u_{n}

解：（1）

\begin{align*}\displaystyle u_{n}&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{3i-2}+\frac{1}{3i-1}-\frac{2}{3i})\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{3i-2}+\frac{1}{3i-1}+\frac{1}{3i}-\frac{3}{3i})\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{3i-2}+\frac{1}{3i-1}+\frac{1}{3i})-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{n+i}\end{align*}

而

v_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{n+i}

，所以

\displaystyle \underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{u_{10}}{v_{10}}=1

（2）根据

\displaystyle u_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{n+i}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\frac{1}{n}

，所以

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}u_{n}=\int_{0}^{2}\frac{1}{1+x}dx=\ln 3

作者：小熊

本文参与腾讯云自媒体分享计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-12-15，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体分享计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度