3.12 (北京市1993竞赛题) 设函数
在
上连续且非负,
是
上的最大值,求证:
.
解:由题意知,
是
的最大值,记
,
,
(1)若
,必然存在
,当
时,有
,用积分中值定理,即
,使
而
连续,
,
,
;根据夹逼准则有
;
(2)同理
或者
类似.
3.13 (莫斯科民族友谊大学1977年竞赛题) 设
在
上连续,对一切的
,
,有
,其中
,
为正常数,求证:
,
解:取
,用积分中值定理有,
,上述
,
,
,故
,
,对右边式子取极限,
,且
连续,有
,所以
,
今天的题目就到这里了,这两题综合利用了极限的定义,以及积分中值定理,另外还有放缩法,综合性强,大家好好体验,有问题留言,谢谢大家的支持。
作者:小熊