大学生数学竞赛非数专题三（4）

用户9628320

发布于 2022-11-23 16:57:36

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专题三一元积分学（4）

3.4 积分中值定理的应用

3.12 （北京市1993竞赛题） 设函数

f(x)

在

[a,b]

上连续且非负，

是

f(x)

上的最大值，求证：

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{\int[f(x)]^{n}dx}=M

解：由题意知，

是

f(x)

的最大值，记

\displaystyle f(\xi)=M=\underset{a\leq x\leq b}{\max}\{f(x)\}

，

\xi\in[a,b]

，

（1）若

\xi\in(a,b)

，必然存在

N\in N

，当

n>N

时，有

[\xi-\dfrac{1}{n},\xi+\dfrac{1}{n}]\subset[a,b]

，用积分中值定理，即

\displaystyle \xi_{n}\subset[\xi-\frac{1}{n},\xi+\frac{1}{n}]

，使

\displaystyle (\frac{2}{n})^{\frac{1}{n}}f(\xi_{n})=\sqrt[n]{\int_{\xi-\frac{1}{n}}^{\xi+\frac{1}{n}}[f(x)]^{n}dx}\leq\sqrt[n]{\int_{a}^{b}[f(x)]^{n}dx}\leq M(b-a)^{\frac{1}{n}}

而

f(x)

连续，

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\xi_{n}=\xi

，

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(\frac{2}{n})^{\frac{1}{n}}=1

，

\displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}(b-a)^{\frac{1}{n}}=1

；根据夹逼准则有

\displaystyle \underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{\int[f(x)]^{n}dx}=M

；

（2）同理

\xi=a

或者

\xi=b

类似.

3.13 （莫斯科民族友谊大学1977年竞赛题） 设

f(x)

在

[a,b]

上连续，对一切的

\alpha

，

\beta(a\leq\alpha\leq\beta\leq b)

，有

\displaystyle \bigg|\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\bigg|\leq M|\beta-\alpha|^{1+\delta}

，其中

，

\delta

为正常数，求证：

f(x)\equiv 0

，

x\in[a,b]

解：取

\forall x_{0}\in[a,b]

，用积分中值定理有，

\displaystyle\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}f(x)dx=f(x_{0}+\theta h)h

，上述

x_{0}+h\in[a,b]

，

h\neq 0

，

0 < \theta < 1

，故

\displaystyle \bigg|\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}f(x)dx\bigg|=|f(x_{0}+\theta h)h|\leq M|h|^{1+\delta}

，

|f(x_{0}+\theta h)|\leq M|h|^{\delta}

，对右边式子取极限，

\underset{h\rightarrow 0}{\lim}M|h|^{\delta}=0

，且

f(x)

连续，有

\underset{h\rightarrow 0}{\lim}f(x_{0}+\theta h)|=f(x_{0})=0

,所以

f(x)\equiv 0

，

x\in[a,b]

今天的题目就到这里了，这两题综合利用了极限的定义，以及积分中值定理，另外还有放缩法，综合性强，大家好好体验，有问题留言，谢谢大家的支持。

作者：小熊

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原始发表：2021-12-16，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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