2021四川资阳中考数学第10小题

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已知A、B两点的坐标分别为(3， -4)、(0， -2)， 线段AB上有一个动点M (m，n)，过点M作x轴的平行线交抛物线 y = a(x-1)²+2于P (x1, y1)、Q (x2, y2)两点，若无论M如何运动，x1 < m ≤ x2 恒成立，则a的取值范围为（ ？）

A) -4 ≤ a < -1.5

B) -4 ≤ a ≤ -1.5

C) -1.5 ≤ a < 0

D) -1.5 < a < 0

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这道题有一个很简单的思路：首先既然是选择题，就可以从4个选项反推，比如确定了a是负数，当然从题目中得知2条线有交点也能确定a是负数，抛物线开口向下：

而抛物线的极点自然就是（1，2），且关于x=1对称，那么a的大小就决定了开口大小。然后我么要做的是简化题意，题目讲了一大堆，可以简化为：抛物线与线段无穿透时（或者抛物线开口完全包含线段时）a的取值范围。这里我们可以使用一种极限的思想，百试不厌：当a无穷小时，开口消失，y=2，抛物线变成水平直线，与线段AB无交点，自然符合条件，当a足够接近0时，开口足够大，也无交点，符合条件。因此a的范围一定是包含 “<0” 的这一边的，因此可以排除A、B选项，因为它们不包含无穷小。最后再考虑下端点是否可取：因为题目允许相交于A点，因此答案是C：-1.5 ≤ a < 0。

至于选项中出现的-4则是相交于B点时的a值，但那时候A点已然穿出开口之外了，则不满足条件。