1. 线性空间
1. 数组空间 & 线性关系
首先，我们给出数组空间的定义如下：
定义5.1.1
数域
F上的一个
n维数组向量
\bold{a}是一个有序的
n元数组
\bold{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)
其中
a_i \in F，
i=1,2,...,n，称为向量
\bold{a}的第
i个分量。
F上的
n维数组向量的全体称为
n维数组空间，记为
F^{n}。
对于数组空间当中的一组向量，我们可以定义线性组合如下：
定义5.1.2
给定一组向量
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n}及一组数
\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m \in F，则称和式
\lambda_1 \bold{a_1} + \lambda_2 \bold{a_2} + ... + \lambda_m \bold{a_m}
为
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m的线性组合，
\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m称为组合系数。如果
\bold{a}可以写成
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m的线性组合，则称
\bold{a}可以用
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m线性表示。
基于此，我们可以给出线性相关与线性无关的定义如下：
定义5.2.1
设
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n}，
m \geq 2，如果某一个向量能够用其他的向量线性表示，即存在某一个
\bold{a}_i以及一组参数
\lambda_j \in F(j \neq i)，使得
\bold{a}_i = \sum_{j \neq i} \lambda_j \bold{a}_j,则称
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m线性相关，否则称他们线性无关。
下面，我们给出线性相关的一些常用定理如下：
定理5.2.1
设
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n}，则
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m线性相关的充要条件是存在不全为0的常数
\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m，使得
\sum_{i=1}^{m} \lambda_i \bold{a}_i = 0 定理5.2.2
设向量组
S_1 = \{\bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_k} \}是向量组
S = \{\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \}的一个子集，则如果
S_1线性相关，那么
S必然线性相关；如果
S线性无关，则
S_1也线性无关。
定理5.2.3
设
\bold{a}_i = (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in}) \in F^{n}，
i=1,2,...,m。用
\bold{A}表示以
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m为行构成
m \times n阶矩阵。则
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m线性相关当且仅当关于
\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m的齐次线性方程组
\bold{A}^{T} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ ... \\ \lambda_m \end{pmatrix} = \bold{0}
有非零解，亦当且仅当
rank(\bold{A}) < m。
推论5.2.1
设
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n}是一组数组向量，则有：
- 若
m > n，则
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m必然线性相关；
- 若
m = n，则
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m线性相关当且仅当
det(\bold{A}) = 0；
- 若
m < n，则
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m线性相关当且仅当矩阵
\bold{A}的所有
m阶子式为零；
定理5.2.4
设
\bold{a}_i = (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{ir}) \in F^{r}，
i=1,2,...,m。他们的加长向量组为
\bold{b}_i = (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{ir}, ... a_{in}) \in F^{n}(n>r)，
i=1,2,...,m，则有：
- 若
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m线性无关，则
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_m也线性无关；
- 若
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_m线性相关，则
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m也线性相关；
2. 秩
要考察线性方程组的秩，我们首先需要引入极大无关组的定义。
定义5.3.1
设
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n}，若
\bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r}线性无关，且任意加一个其他的向量
\bold{a}_{i_{r+1}}后
\bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r}, \bold{a}_{i_{r+1}}均线性相关，则称
\bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r}为
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m的极大无关组。
对于极大无关组，我们有定理如下：
定理5.3.1
设
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n}为一组列向量，
\bold{A} = (\bold{a}_1, ..., \bold{a}_m)是以
\bold{a}_1, ..., \bold{a}_m为列构成的
n \times m阶矩阵，
\bold{A}经过一系列初等变换变为矩阵
\bold{B} = (\bold{b}_1, ..., \bold{b}_m)，则：
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m线性相关（无关）当且仅当
\bold{b}_1, ..., \bold{b}_m线性相关（无关）；
\bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r}为
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m的极大无关组，当且仅当
\bold{b}_{i_1}, \bold{b}_{i_2}, ..., \bold{b}_{i_r}为
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_m的极大无关组。
在极大无关组的基础上，我们引入向量组的等价的定义：
定义5.3.2
如果向量组
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m中的每一个向量都可以用向量组
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l线性表示，则称向量组
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m可以由向量组
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l线性表示。
如果两个向量组
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m和
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l可以相互线性表示，则称这两个向量组等价，记为：
\{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \} \sim \{ \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l \}很自然的，向量组等价满足性质：
- 反身性：
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m与它自身等价；
- 对称性：若
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m与
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l等价，则
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l与
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m等价；
- 传递性：若
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m与
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l等价，且
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l与
\bold{c}_1, \bold{c}_2, ..., \bold{c}_k等价，则
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m与
\bold{c}_1, \bold{c}_2, ..., \bold{c}_k等价。
向量组的等价还具有如下一些定理：
定理5.3.2
一组向量组与它的任何一组极大无关组等价。
推论5.3.1
向量组的任何两个极大无关组彼此等价。
定理5.3.3
若两个线性无关向量组
\{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \}与
\{ \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_s \}等价，则
r=s。
推论5.3.2
若
\bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r}和
\bold{a}_{j_1}, \bold{a}_{j_2}, ..., \bold{a}_{j_s}分别为
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m的两个极大无关组，则
r=s。
由此，我们可以最终引入向量组的秩的定义：
定义5.3.3
向量组
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m的极大无关组元素的个数称之为向量组的秩，记为
rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m)或
r(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m)。
向量组的秩具有如下性质：
定理5.3.4
设向量
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \in F^{n}，向量
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_s \in F^{n}，则有：
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r线性无关当且仅当
rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r) = r；
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r线性相关当且仅当
rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r) < r；
\{ \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_s \}可以用
\{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \}线性表示，则
rank(\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_s) \leq rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r);
- { \bold{b}_1, \bold{b}_2, …, \bold{b}_s }
与{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, …, \bold{a}_r }
等价，则rank(\bold{b}_1, \bold{b}_2, …, \bold{b}_s) = rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, …, \bold{a}_r)$
\{ \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_s \}可以用
\{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \}线性表示，且
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_s线性无关，则
s \leq r;
- 向量
\bold{b}可以表示成
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r的线性组合，当且仅当
rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r) = rank(\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r, \bold{b});
定理5.3.5
任何矩阵的行秩等于它的列秩等于该矩阵的秩；
推论5.3.3
n阶方阵
\bold{A}可逆
\Leftrightarrow rank(\bold{A}) = n \Leftrightarrow\bold{A}的行（列）向量线性无关。
推论5.3.4
若
rank(\bold{A}) = r，则
\bold{A}的不等于0的
r阶子式所在的行（列）构成
\bold{A}的行（列）向量的极大无关组。
3. 子空间、基与维数
要介绍子空间的内容，我们首先引入向量的生成子空间定义：
定义 5.4.1
设
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in F^{n}是一组向量，称集合
\langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle := \{ \sum_{i=1}^{m} \lambda_i \bold{a}_i | \lambda_i \in F, i=1,2,..., m \}
为向量组
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m生成的
F^{n}的子空间，
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m称为生成子空间的生成元。
给定一个矩阵
\bold{A} \in F^{m \times n}，由
\bold{A}的行向量生成的子空间称为行空间；由
\bold{A}的列向量生成的子空间称为列空间。
生成子空间具有如下性质：
命题5.4.1
若
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_k \in \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle，则
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_k的任意线性组合都属于
\langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle。
定理5.4.1
设
\bold{a}_i, \bold{b}_j, \bold{b}均为
F^{n}中的向量，其中
i=1,...,m，
j=1,...,l。则下列结论成立：
- 向量组
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m与
\bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l等价，当接近当
\langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle = \langle \bold{b}_1, \bold{b}_2, ..., \bold{b}_l \rangle；
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m (m \geq 2)线性相关，当且仅当存在
i使得
\bold{a}_i \in \langle \bold{a}_j | j \neq i \rangle，亦即
\langle \bold{a}_i \rangle = \langle \bold{a}_j | j \neq i \rangle;
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m线性无关，当且仅当对任意
i均有
\bold{a}_i \notin \langle \bold{a}_j | j \neq i \rangle，亦即
\langle \bold{a}_i \rangle \neq \langle \bold{a}_j | j \neq i \rangle;
\bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r}是
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m的极大无关组，当且仅当
\langle \bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r} \rangle = \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle且
\bold{a}_{i_1}, \bold{a}_{i_2}, ..., \bold{a}_{i_r}线性无关；
- 线性方程组
\sum_{i}x_i\bold{a}_i = \bold{b}有解当且仅当
\bold{b} \in \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle，当且仅当
\langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \rangle = \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m, \bold{b} \rangle在生成子空间的基础上，我们给出子空间的两种定义：
定义5.4.2
设
V \subset F^{n}为非空向量集合，它满足：
对任意
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_m \in V，
\lambda_1, ..., \lambda_m \in F，都有
\sum_{i=1}^{m} \in V，则称
V为
F^{n}的子空间。
定义5.4.3
设
V \subset F^{n}为非空向量集合，它满足：
- 若
\bold{a,b} \in V，则
\bold{a+b} \in V；
- 若
\bold{a} \in V，
\lambda \in F，则
\lambda \bold{a} \in V;
则称
V为
F^n的子空间。
对于任意一个子空间，我们有如下定理：
定理5.4.2
设非空集合
V是
F^n的子空间，则存在线性无关的向量组
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r，使得
V = \langle \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \rangle亦即任意子空间总可以表示为一些线性无关的向量的生成子空间。
因此，我们就给可以给出子空间的基的定义：
定义5.4.4
设
V \subset F^n是子空间，
V中的一组向量
\{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \}称为
V的一组基，如果其满足：
- 对任意向量
\bold{a} \in V，
\bold{a}可以唯一地表示为
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r的线性组合：
\bold{a} = \sum_{i=1}^{r} \lambda_i \bold{a_i}
\bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r线性无关。
称
(\lambda_1, ... \lambda_r)为向量
\bold{a}在基
\{ \bold{a}_1, \bold{a}_2, ..., \bold{a}_r \}下的坐标。
V的一组基的向量个数称为
V的维数，记作
dimV。
我们有定理：
定理5.4.3
n为数组空间
F^n中的下列结论成立：
- 设
V \subset F^n为
r维子空间，则
V中任意
r+1个向量线性相关；
- 设
V为
r维子空间，则
V中任意
r个线性无关向量为
V的一组基；
- 设
U与
V为
F^n的子空间，且
U \subseteq V，则
dimU \leq dimV；
- 设
U与
V为
F^n的子空间，且
U \subseteq V，若
dimU = dimV，则
U = V。
4. 一般线性空间
上面，我们介绍了数组向量中的子空间等定义，这里，我们将会介绍一下一般的线性空间，它不局限于数组向量，而是针对一般的集合。
我们给出一般的线性空间的定义如下：
定义5.6.1
设
V是一个非空集合，
F是一个数域，对
V中的元素定义两种运算：
- 加法：对
V中的任意两个元素
\bold{\alpha, \beta}组成的有序对
(\bold{\alpha, \beta})，
V中存在唯一的一个元素
\bold{\gamma}与之相对应，简记为
\bold{\alpha + \beta = \gamma}；
- 数乘：对任意常数
\lambda \in F及向量
\alpha \in V，
V中存在唯一地一个元素
\gamma与之对应，简记为
\lambda \bold{\alpha} = \bold{\gamma}。
加法与数乘运算满足下列运算规律：
- 加法交换律：
\bold{\alpha + \beta = \beta + \alpha}- 加法结合律：
\bold{(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)}- 零向量：存在元素
\bold{\theta} \in V使得
\bold{\alpha + \theta = \theta + \alpha = \alpha}对任意
\bold{\alpha} \in V成立，
\bold{\theta}称为零元素，通常简记为
\bold{0};
- 对任意
\bold{\alpha} \in V，存在唯一的
\bold{\beta} \in V，使得
\bold{\alpha + \beta = \beta + \alpha = 0}，
\bold{\beta}称为
\bold{\alpha}的负元素，简记为
-\bold{\alpha}；
- 对任意
\lambda \in F，
\bold{\alpha, \beta} \in V，
\lambda (\bold{\alpha + \beta}) = \lambda \bold{\alpha} + \lambda \bold{\beta};
- 对任意
\lambda, \mu \in F，
\bold{\alpha} \in V，
(\lambda + \mu) \bold{\alpha} = \lambda \bold{\alpha} + \mu\bold{\alpha};
- 对任意
\lambda, \mu \in F，
\bold{\alpha} \in V，
\lambda (\mu \bold{\alpha}) = (\lambda \mu) \bold{\alpha}；
1\bold{\alpha} = \bold{\alpha}对任意
\bold{\alpha} \in V成立。
则称
V是数域
F上的线性空间，简记为
V(F)或
V。
线性空间
V中的元素称为向量。
线性空间具有如下性质：
- 零向量唯一；
- 负向量唯一；
0\bold{\alpha}=\bold{0};
(-1)\bold{\alpha} = -\bold{\alpha};
\lambda \bold{0} = \bold{0}
\lambda \bold{\alpha} = \bold{0}当且仅当
\bold{\alpha} = \bold{0}或者
\lambda = 0;
对于一般的线性空间，我们同样可以给出子空间等定义如下：
定义5.6.2
设
V是数域
F上的线性空间，给定
V中的一组向量
S = \{ \bold{\alpha}_1, \bold{\alpha}_2, ..., \bold{\alpha}_m \}及一组数
\lambda_1, ..., \lambda_m \in F，称和式
\lambda_1 \bold{\alpha}_1 + ... + \lambda_m \bold{\alpha}_m
为向量组
S的线性组合，
\lambda_1, ..., \lambda_m称为组合系数，如果
\bold{\alpha}可以写成
S的线性组合，则称
\bold{\alpha}可以用
S线性表示。
向量组
S的线性组合的全体
\langle S \rangle := \langle \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m \rangle := \{ \lambda_1 \bold{\alpha}_1 + ... + \lambda_m \bold{\alpha}_m | \lambda_1, ..., \lambda_m \in F \}
称为
V的生成子空间，
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m称为生成子空间的生成元。
定义5.6.3
设
V是数域
F上的线性空间，称向量组
T = \langle \bold{\beta}_1, ..., \bold{\beta}_l \rangle可以由向量组
S = \langle \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m \rangle线性表示，如果每一个
\bold{\beta}_i均可以用向量组
S线性表示。
如果向量组
S和
T可以相互线性表示，则称
S和
T等价。
定理5.6.1
设
S和
T是线性空间
V的两个向量组，则：
T可以由
S线性表示，当且仅当
\langle T \rangle \subset \langle S \rangle;
U可以由
T线性表示，
T可以由
S线性表示，则
U可以由
S线性表示；
S与
T等价，当且仅当
\langle S \rangle = \langle T \rangle;
U与
T等价，
T与
S等价，则
U与
S等价。
定义5.6.4
设
V是数域
F上的线性空间，
S是
V中的一组向量。如果
S中的某个向量能用其他向量线性表示，则称
S线性相关，反之则称为线性无关。
特别的，如果一个向量组成的向量组线性相关，当且仅当该向量为零向量。
定理5.6.2
设
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m (m \geq 2)是线性空间
V中的向量，则下列说法等价：
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m线性相关；
- 存在不全为零的常数
\lambda_1, ..., \lambda_m \in F，使得
\sum_{i=1}^{m} \lambda_i \bold{\alpha}_i = 0;
- 存在向量
\bold{\alpha}_i使得
\bold{\alpha}_i = \sum_{j \neq i} \lambda_j \bold{\alpha}_j;
- 存在向量
\bold{\alpha}_i使得
\bold{\alpha}_i \in \langle \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_{i-1}, \bold{\alpha}_{i+1}, ... \bold{\alpha}_m \rangle;
- 存在向量
\bold{\alpha}_i使得
\langle \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m \rangle = \langle \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_{i-1}, \bold{\alpha}_{i+1}, ... \bold{\alpha}_m \rangle;
定理5.6.3
设向量组
S_1是向量组
S的一个自己，那么，如果
S_1线性相关，则
S也线性相关；如果
S线性无关，则
S_1也线性无关。
定义5.6.5
设
S是线性空间
V中的向量组，若
S的子集
S_1线性无关，且任加
S中的一个其他向量
\bold{\alpha}后，
S_1 \cup \langle \bold{\alpha} \rangle线性相关，则称
S_1为向量组
S的极大无关组。
定理5.6.4
向量组的极大无关组有下列等价的说法：
- 向量组
S的子集
S_1是
S的极大无关组；
- 向量组
S可以由子集
S_1线性表示，且
S_1线性无关；
- 向量组
S与它的子集
S_1等价，且
S_1线性无关；
\langle S \rangle = \langle S_1 \rangle，且
S_1线性无关；
推论5.6.1
向量组的任意两个极大无关组彼此等价；
定理5.6.5
两个等价向量组
\langle \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_r \rangle和
\langle \bold{beta}_1, ..., \bold{\beta}_s \rangle分别线性无关，则
r=s。
推论5.6.2
设
\bold{\alpha}_{i_1}, ..., \bold{\alpha}_{i_r}和
\bold{\alpha}_{j_1}, ..., \bold{\alpha}_{j_s}分别是
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_m的两个极大无关组，则
r=s。
定义5.6.6
向量组
S的极大无关组的向量的个数称为向量组的秩，即为
rank(S)或者
r(S)。
定理5.6.6
设
S, T是线性空间
V中的有限向量组，则有如下结论：
S线性无关当且仅当
rank(S) = \#S;
S线性相关当且仅当
rank(S) < \#S;
- 若
T可以用
S线性表示，则
rank(T) \leq rank(S);
- 若
T和
S等价，则
rank(T) = rank(S);
- 若
T可以用
S线性表示，且
T线性无关，则
\#T \leq \#S;
定义5.6.7
设
V是数域
F上的线性空间，
S是
V中一组线性无关向量。如果
V中任何向量都能表示成
S的线性组合，则称
S是
V的一组基。若
S是有限的，则称
V为有限维线性空间，
S中的元素的个数称为线性空间
V的维数，记为
dimV。若
S是无限的，则称
V为无限维线性空间，其维数为无穷大。
设基为
S = \{ \bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n \}是有限的，则任意向量
\bold{\alpha} \in V可以唯一地表示为
S的线性组合
\bold{\alpha} = \lambda_1 \bold{\alpha}_1 + ... + \lambda_n \bold{\alpha}_n
称
(\lambda_1, ..., \lambda_n)为向量
\bold{\alpha}在基
S下的坐标。
定理5.6.7
设
V是数域
F上的
n维线性空间，则有：
V中任意
n+1个向量线性相关；
V中任意
n个线性无关向量为一组基；
- 设
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_r \in V是
r(r<n)个线性无关的向量，则存在
V中的向量
\bold{\alpha}_{r+1}, ..., \bold{\alpha}_n使得
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n构成
V中的一组基，称
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n为线性无关组
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_r的一组扩充基。
5. 同构
最后，我们来稍微引入了一下线性空间的同构定义。
定义5.7.1
设
V_1, V_2是数域
F上的两个线性空间，如果存在一一映射
\sigma : V_1 \rightarrow V_2满足：
- 对任意
\bold{x,y} \in V_1,
\sigma(\bold{x+y}) = \sigma(\bold{x}) + \sigma(\bold{y});
- 对任意
\lambda \in F,
\bold{x} \in V_1，
\sigma(\lambda \bold{x}) = \lambda \sigma(\bold{x}).
则称线性空间
V_1, V_2同构，记为
V_1 \sim V_2，
\sigma称为同构映射。
当
V_1 = V_2时，称
\sigma为自同构。
对于同构，有如下定理：
定理5.7.1
设
V_1, V_2, V_3是数域
F上的线性空间，则有：
- 若
dimV_1 = n，则
V_1与
n维数组空间
F^n同构；
- 设
\sigma是
V_1 \rightarrow V_2的同构映射，则
\sigma^{-1}是
V_2 \rightarrow V_1的同构映射；
- 若
V_1与
V_2同构，
V_2与
V_3同构，则
V_1与
V_3同构。
定理5.7.2
设
V_1, V_2是数域
F上的线性空间，
\sigma: V_1 \rightarrow V_2是同构映射，则：
\sigma(\bold{0}_1) = \bold{0}_2，其中，
\bold{0}_1, \bold{0}_2分别是
V_1, V_2的零元素；
\sigma(-\bold{\alpha}) = -\sigma(\bold{\alpha});
\sigma(\sum_{i=1}^{m} \lambda_i \bold{\alpha}_i) = \sum_{i=1}^{m}\lambda_i \sigma(\bold{\alpha}_i);
V_1中向量组
S线性无关（相关）当且仅当
\sigma(S)在
V_2当中线性无关（相关）;
M是
V_1的基当且仅当
\sigma(M)是
V_2的基；
dimV_1 = dimV_2。
定理5.7.3
数域
F上的线性空间
V_1与
V_2同构的充要条件是
dimV_1 = dimV_2。
2. 线性变换
1. 定义 & 性质
定义6.1.1
设
V, V_1是数域
F上的两个线性空间，若映射
\mathcal{A}: V \rightarrow V'满足：
对任意
\bold{x, y} \in V, \lambda \in F，都有：
\mathcal{A}(\bold{x+y}) = \mathcal{A}(\bold{x}) + \mathcal{A}(\bold{y})
\mathcal{A}(\lambda \bold{x}) = \lambda \mathcal{A}(\bold{x}) 则称
\mathcal{A}为从线性空间
V到线性空间
V'的线性映射。
特别的，如果
V = V'，则称
\mathcal{A}为线性空间
V上的一个线性变化。
有性质：
定理6.1.1
设
V是数域
F上的线性空间，
\mathcal{A}是
V上的线性变换，
\mathcal{A}具有以下性质：
\mathcal{A}(\bold{0}) = \bold{0};
\mathcal{A}(-\bold{a}) = - \mathcal{\bold{a}}, \bold{a} \in V;
- 设
\bold{a}_1, ... \bold{a}_n为线性空间
V的一组基，若
\bold{a} = \lambda_1 \bold{a}_1 + ... + \lambda_n \bold{a}_n，则
\mathcal{A}(\bold{a}) = \lambda_1 \mathcal{A}(\bold{a}_1) + ... + \lambda_n \mathcal{A}(\bold{a}_n);
- 若
\bold{a}_1, ... \bold{a}_m是
V中线性相关的向量，则
\mathcal{A}(\bold{a}_1), ..., \mathcal{A}(\bold{a}_m)也线性相关。
2. 矩阵表达
线性变换本质上可以视为线性空间上的两组向量之间的变化关系，我们可以将其放到两组基当中进行表达，即可以将其视为两个基底之间的线性变换。
\mathcal{A}{\bold{(\alpha_1, ..., \alpha_n)}} = \bold{(\alpha_1, ..., \alpha_n)} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix}因此，我们可以将矩阵
\bold{A} = (a_{ij})称为线性变换
\mathcal{A}在基
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n下的变换矩阵。
我们有定理：
定理6.2.1
设线性变换
\mathcal{A}: V \rightarrow V在基
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n下的矩阵为
\bold{A}，设
\bold{x, y} \in V，且
\bold{y} = \mathcal{A}(\bold{x})，若
\bold{x, y}在基
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n下的坐标分别为
\bold{X, Y}，则：
\bold{Y} = \bold{AX}我们将数域
F上的
n维线性空间
V上的全体线性变换所构成的集合记为
\bold{L}(V)，将数域
F上的
n阶方阵的构成的集合记为
\bold{M}_n(F)，则有：
定理6.2.2
设
V为数域
F上的
n维线性空间，
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n为
V的一组基。则存在一一映射
\Phi:\bold{L}(V) \rightarrow \bold{M}_n(F)，使得对每个
\mathcal{A} \in \bold{L}(V)，
\Phi(\mathcal{A})为
\mathcal{A}在基
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n下的矩阵。
我们定义线性变换的运算：
\mathcal{A+B}(\bold{x}) = \mathcal{A}(\bold{x}) + \mathcal{A}(\bold{y})
(\lambda \mathcal{A})(\bold{x}) = \lambda \mathcal{A}(\bold{x})
(\mathcal{B} \circ \mathcal{A})(\bold{x}) = \mathcal{B}(\mathcal{A}(\bold{x}))我们有定理：
定理6.2.3
设
\Phi: \bold{L}(V) \rightarrow \bold{M}_n(F)为前述定理6.2.2中定义的映射，则对
\mathcal{A,B} \in \bold{L}(V), \lambda \in F，有：
\Phi(\mathcal{A+B}) = \Phi(\mathcal{A}) + \Phi(\mathcal{B})
\Phi(\lambda \mathcal{A}) = \lambda \Phi(\mathcal{A})
\Phi(\mathcal{B} \circ \mathcal{A}) = \Phi(\mathcal{B}) \cdot \Phi(\mathcal{A})3. 矩阵的相似
定理 6.3.1
设线性变换
\mathcal{A}: V \rightarrow V在
V的两组基
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n和
\bold{\beta}_1, ..., \bold{\beta}_n的矩阵分别为
\bold{A}和
\bold{B}。设基
\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n到基
\bold{\beta}_1, ..., \bold{\beta}_n的过渡矩阵为
T，即
(\bold{\beta}_1, ..., \bold{\beta}_n) = (\bold{\alpha}_1, ..., \bold{\alpha}_n)\bold{T}，则有：
\bold{B} = \bold{T^{-1}AT}基于此，我们可以给出矩阵的相似定义：
定义6.3.1
设
\bold{A, B}为数域
F上的两个
n阶方阵，如果存在数域
F上的
n阶可逆方阵
\bold{T}，使得
\bold{B} = \bold{T^{-1}AT}，则称
\bold{A}和
bold{B}在数域
F上相似，记为
\bold{A} \sim \bold{B}。
对于相似的矩阵，有如下命题：
命题6.3.1
矩阵的相似关系为等价关系，即满足以下三个条件：
- 反身性：
\bold{A}与
\bold{A}相似；
- 对称性：若
\bold{A}与
\bold{B}相似，则
\bold{B}与
\bold{A}相似；
- 传递性：若
\bold{A}与
\bold{B}相似，
\bold{B}与
\bold{C}相似，则
bold{A}与
\bold{C}相似。
4. 特征值 & 特征向量
定义 6.4.1
设
\bold{A}为数域
F上的
n阶方阵，如果存在
\lambda \in F及非零列向量
\bold{x} \in F^{n}，使得
\bold{Ax} = \lambda \bold{x}，则称
\lambda为方阵
\bold{A}的一个特征值，而称
x为属于特征值
\lambda的一个特征向量。
定义
V_{\mathcal{A}}(\lambda) := \{ \bold{\alpha} \in V | \mathcal{A}\bold{\alpha} = \lambda \bold{\alpha}\}为特征值
\lambda的特征子空间。
对于矩阵
\bold{A}，定义矩阵
\bold{A}的特征多项式
p_{\bold{A}}(\lambda)为：
det(\lambda \bold{I} - \bold{A}) = \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & ... & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & ... & -a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ -a_{n1} & -a_{n2} & ... & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix} = 0关于特征向量，我们有一些常用的性质：
若
\lambda是
n阶方阵
\bold{A}的一个特征值，则有：
\lambda^k是
\bold{A}^k的特征值，其中
k为正整数；
\lambda为
\bold{A}^{T}的特征值；
- 若
\lambda \neq 0，则
\frac{1}{\lambda}det(\bold{A})是
\bold{A}的伴随方阵
\bold{A}^{*}的特征值；
- 若方阵
\bold{A}为实方阵且满足
\bold{AA^{T}} = \bold{I}，则
|\lambda| = 1；
命题6.4.1
相似的矩阵具有相同的特征多项式和特征值。
命题6.4.2
设
\bold{A} = (a_{ij})为
\bold{C}上的一个
n阶方阵，
\lambda_1, ..., \lambda_n为
\bold{A}的
n个特征值，则有：
tr(\bold{A}) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}
det(\bold{A}) = \Pi_{i=1}^{n} \lambda_{i} 推论6.4.1
n阶方阵可逆当且仅当它的
n个特征值均不为零。
5. 相似对角化
引理6.5.1
设
\bold{A}是属于
F上的
n阶方阵，则属于
\bold{A}的不同特征值的特征向量是线性无关的。
定理6.5.1
数域
F上的
n阶方阵
\bold{A}相似于对角矩阵的充要条件是
\bold{A}有
n个线性无关的特征向量。
推论6.5.1
如果矩阵
\bold{A}的
n个特征值两两不同，则
\bold{A}相似于对角矩阵。
定理6.5.3
任何一个
n阶复方阵
\bold{A}都可以相似于一个上三角矩阵，且这个上三角矩阵的主对角线上的元素都是
\bold{A}的特征值。
