动态规划——509. 斐波那契数
动态规划——509. 斐波那契数
1 题目描述
斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给定 n ，请计算 F(n) 。
来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number
2 题目示例
示例 1： 输入：n = 2 输出：1 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2： 输入：n = 3 输出：2 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3： 输入：n = 4 输出：3 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
3 题目提示
0 <= n <= 30
4 思路
斐波那契数的边界条件是F(0)=0和F(1)=1。当n >1时，每—项的和都等于前两项的和，因此有如下递推关系: F(n)= F(n- 1)＋F(n -2)
由于斐波那契数存在递推关系，因此可以使用动态规划求解。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系，边界条件为F(0)和F(1)。 根据状态转移方程和边界条件，可以得到时间复杂度和空间复杂度都是O(n)的实现。由于F(nz)只和F(n—1)与F(n ―2)有关，因此可以使用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成O(1)。如下的代码中给出的就是这种实现。
复杂度分析 时间复杂度:O(n)。· 空间复杂度:O(1)。
方法二:矩阵快速幂 方法—的时间复杂度是o(n)。使用矩阵快速幂的方法可以降低时间复杂度。 首先我们可以构建这样一个递推关系:
因此只要我们能快速计算矩阵M的n次幂，就可以得到F(n)的值。如果直接求取Mn，时间复杂度是O(n)，可以定义矩阵乘法，然后用快速幂算法来加速这里Mn的求取。
5 我的答案
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n < 2) {
return n;
}
int p = 0, q = 0, r = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
p = q;
q = r;
r = p + q;
}
return r;
}
}方法二：
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n < 2) {
return n;
}
int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
int[][] res = pow(q, n - 1);
return res[0][0];
}
public int[][] pow(int[][] a, int n) {
int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
while (n > 0) {
if ((n & 1) == 1) {
ret = multiply(ret, a);
}
n >>= 1;
a = multiply(a, a);
}
return ret;
}
public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
int[][] c = new int[2][2];
for (int i = 0; i < 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
}
}
return c;
}
}腾讯云开发者
