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1.1 线性分组码(n,k)定义
线性分组码是由 (n, k) 形式表示。编码器将一个 k 比特信息分组(信息矢量)转变成一个更长的由给定符号集组成的 n 比特编码分组(编码矢量)。当这个符号集包含 2 个元素 (0 and 1) 时 , 称为二进制编码。
k-bit 信息形成
2^k 不同的信息序列 , 称为 k 元组。 n-bit 可以形成
2^n 个不同序列,称为 n 元组。
(n,k)分组码输出的长度为n的序列称为码字。所有这些码字的集合称为该线性分组码的码组。
因为n>k,故编码时需按某种规则加入r=n-k个监督(校验)码元。
对于分组码(n,k),定义
线性分组码的几个重要概念
- 码距(汉明距离):两个码组中对应位置上具有不同二进制码元的位数
- 码重(汉明重量):线性分组码中,将码字(组)中所含 1 的数目定义为码字(组)的重量
- 编码信道:研究信道编码和译码的信道模型
- 二元码、硬判决时,建模为 BSC (二元对称)信道
- 软判决时,建模为 AWGN 信道
- 软判决与硬判决译码(简单理解:译码器输入比特的选取)
1.2 信道编码性能参数
主要的性能参数有 差错概率、编码增益、检纠错能力 。
编码增益 :给定差错概率下,通过编码所能实现的比特信噪比 𝑬_𝒃/𝑵_𝟎的减少量。
d_{\text {min }} \geq l+1d_{\min } \geq 2 t+1d_{\text {min }} \geq l+t+11.3基本线性分组码
a.奇偶监督码
- 码字由 n 个码元组成, n 1 个信息码元,另一码元为奇(偶)监督码元 (n, n-1 )奇偶监督码.
- 码率: (n-1)/ n
=0 (偶校验)or 1(奇校验)
可检测到奇数个错误图样, 如果错误个数为偶数则无法检测。
b.恒比码
- 每个码组中 1 和 0 的个数保持恒定,因而比值恒定。我国电传通信中 5 中取 3 码 每个 5bit 码组中必须含有 3 个 1和2 个 0),总数共有
C_{5}^{3}=C_{5}^{2}=10种来表示十进制数。
c.汉明码
1.4 差错控制类型对信道编码的要求
- ARQ (检错重发 自动请求重发)
利用奇偶校验比特来检错重发。接收端不纠正错误,只是简单的要求发射机重发数据。此时,发射端与接收端间的对话需要双向链路反馈信道 。
自动重发请求 (ARQ): 三种类型
1)停止——等待 ARQ (半双工)
2)具有回拉功能的连续 ARQ (全双工)
3)具有选择性重发功能的连续 ARQ (全双工)
ARQ的主要优点是 ,错误检测设备要比纠错设备简单得多,只需要少量的冗余。
ARQ只适用于发生错误时需要重发的情况。
2.FEC (前向纠错)
- 适用于实时通信系统中
- 要求信道编码具有纠错功能
- 比ARQ 优越的方面
- 没有可用的反向信道或 ARQ 延迟过长。
- 重发策略无法简单的实现。
- 没有纠正的错误数目需要过多的重传。
3.HEC (混合纠错 ARQ+FEC)
即能检错又能纠错
首先收端进行检错,如错误在纠错范围内则纠正,否则请求重传。
1.5信道编码主要涉及的数学知识:有限域运算、矩阵运算
- 有限域初步知识: Galois 域——迦罗华域
- 有限域:指有限个元素的集合,可按规则进行代数四则运算,且运算结果仍属于集合中的有限元素。
- 对于二元域,记为 GF(2),其内码元满足模二运算。
- 二元扩展域 GF(
2^n)——由 GF(2) 元素的一切长度为 n的序列组成的集合(二进制数组的集合)。
\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \in G F\left(2^{n}\right), \alpha \in G F(2) , 即
\alpha取0或1。
加法:
\mathbf{x}+\mathbf{x}^{\prime}=\left(x_{n-1} \oplus x_{n-1}^{\prime}, x_{n-2} \oplus x_{n-2}^{\prime}, \ldots, x_{1} \oplus x_{1}^{\prime}, x_{0} \oplus x_{0}^{\prime}\right)
乘法:
\alpha \cdot x=\left(\alpha x_{n-1}, \alpha x_{n-2}, \ldots, \alpha x_{1}, \alpha x_{0}\right)