题目1444:蓝桥杯201 4年第五届真题斐波那契

红目香薰

发布于 2022-12-05 15:15:58

1920

发布于 2022-12-05 15:15:58

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这篇文章是帮一个叫做【废柴成长中】的孩子写的。

题目：

这里难点应该就是在【输入为一行用空格分开的整数n m p(0<n,m，p<10^18)】，这里一下子就把最大值干成long的最大范围了，很明显，long肯定也不行。

解析其实不是太麻烦，先分析，然后咱们在一点点的编写出来。

题目中给的【fib(n) = fib(n+2)-fib(n+1)】这个方法应该分数不高，不然就直接能做出来了。

我们还得对超大数据进行操作，我这里选用的是【BigInteger】，毕竟这是纯整数，求余计算结果也是纯整数或0，就是计算起来没有直接写符号计算的方便而已。

看人家给的公式：

大致先写成这样，反正看的明白就行(Σ(n)f(i))modf(m)

已知：fib(n) = fib(n+2)-fib(n+1)

推导：Σf(n) = f(n+2)-1

推算一下变量m：

如果 m>=n+2那么f(m)>Σf(n)，结果是(f(n+2)-1)%p，

反之结果为(f(n+2)-1)%f(m)%p==f(n+2)%f(m)%p-1。

直接上代码，其实很多时候看debug是最快的调试方案：

package com.example.demo2022110201;
/**
 * @author
 */

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Demo1 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        // 三变量
        long n, m, p;
        n = sc.nextLong();
        m = sc.nextLong();
        p = sc.nextLong();
        BigInteger bigP = BigInteger.valueOf(p);
        if (m >= n + 2) {
            BigInteger ans = fib(n + 2, bigP);
            System.out.println(ans.mod(bigP).longValue() - 1);
        } else {
            BigInteger fib_m = fib(m);
            BigInteger ans = fib(n + 2, fib_m);
            System.out.println(ans.mod(fib_m).mod(bigP).longValue() - 1);
        }
        sc.close();
    }

    /**
     * 快速矩阵求fib
     *
     * @param m
     * @return
     */
    private static BigInteger fib(long m) {
        BigInteger[][] ans = mPow(m - 2);
        return ans[0][0].add(ans[1][0]);
    }

    private static BigInteger fib(long m, BigInteger mod) {
        BigInteger[][] ans = mPow(m - 2, mod);
        return ans[0][0].add(ans[1][0]);
    }

    /**
     * 矩阵快速幂
     *
     * @param n
     * @return
     */
    private static BigInteger[][] mPow(long n) {
        BigInteger[][] a =
                {{BigInteger.ONE, BigInteger.ONE}, {BigInteger.ONE, BigInteger.ZERO}};
        //基础矩阵
        BigInteger[][] ans =
                {{BigInteger.ONE, BigInteger.ZERO}, {BigInteger.ZERO, BigInteger.ONE}};
        while (n != 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                BigInteger t1 = ans[0][0];
                BigInteger t2 = ans[1][0];
                ans[0][0] = ans[0][0].multiply(a[0][0]).add(ans[0][1].multiply(a[1][0]));
                ans[0][1] = t1.multiply(a[0][1]).add(ans[0][1].multiply(a[1][1]));
                ans[1][0] = ans[1][0].multiply(a[0][0]).add(ans[1][1].multiply(a[1][0]));
                ans[1][1] = t2.multiply(a[0][1]).add(ans[1][1].multiply(a[1][1]));
            }
            BigInteger t1 = a[0][0];
            BigInteger t2 = a[1][0];
            BigInteger t3 = a[0][1];
            a[0][0] = a[0][0].multiply(a[0][0]).add(a[0][1].multiply(a[1][0]));
            a[0][1] = t1.multiply(a[0][1]).add(a[0][1].multiply(a[1][1]));
            a[1][0] = a[1][0].multiply(t1).add(a[1][1].multiply(a[1][0]));
            a[1][1] = t2.multiply(t3).add(a[1][1].multiply(a[1][1]));
            n >>= 1;
        }
        return ans;
    }

    private static BigInteger[][] mPow(long n, BigInteger mod) {
        BigInteger[][] a =
                {{BigInteger.ONE, BigInteger.ONE}, {BigInteger.ONE, BigInteger.ZERO}};
        //基础矩阵
        BigInteger[][] ans =
                {{BigInteger.ONE, BigInteger.ZERO}, {BigInteger.ZERO, BigInteger.ONE}};
        while (n != 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                //结果乘当前平方
                BigInteger t1 = ans[0][0];
                BigInteger t2 = ans[1][0];
                ans[0][0] = ans[0][0].multiply(a[0][0]).add(ans[0][1].multiply(a[1][0])).mod(mod);
                ans[0][1] = t1.multiply(a[0][1]).add(ans[0][1].multiply(a[1][1])).mod(mod);
                ans[1][0] = ans[1][0].multiply(a[0][0]).add(ans[1][1].multiply(a[1][0])).mod(mod);
                ans[1][1] = t2.multiply(a[0][1]).add(ans[1][1].multiply(a[1][1])).mod(mod);
            }
            //算平方
            BigInteger t1 = a[0][0];
            BigInteger t2 = a[1][0];
            BigInteger t3 = a[0][1];
            //如果是其它语言就换成自己语言的大数处理即可。
            a[0][0] = a[0][0].multiply(a[0][0]).add(a[0][1].multiply(a[1][0])).mod(mod);
            a[0][1] = t1.multiply(a[0][1]).add(a[0][1].multiply(a[1][1])).mod(mod);
            a[1][0] = a[1][0].multiply(t1).add(a[1][1].multiply(a[1][0])).mod(mod);
            a[1][1] = t2.multiply(t3).add(a[1][1].multiply(a[1][1])).mod(mod);
            n >>= 1;
        }
        return ans;
    }
}

测试数据，我这没有平台，故而直接用测试用例的【15 11 29】，结果【25】正确