量子计算（十）：量子计算原理

量子计算原理

经典计算中，最基本的单元是比特，而最基本的控制模式是逻辑门，可以通过逻辑门的组合来达到控制电路的目的。类似地，处理量子比特的方式就是量子逻辑门，使用量子逻辑门，有意识的使量子态发生演化，所以量子逻辑门是构成量子算法的基础。

一、酉变换

酉变换是一种矩阵，也是一种操作，它作用在量子态上得到的是一个新的量子态。使用U来表达酉矩阵，U+表示酉矩阵的转置复共轭矩阵，二者满足运算关系UU+=I，所以酉矩阵的转置复共轭矩阵也是一个酉矩阵 ，说明酉变换是一种可逆变换。

一般酉变换在量子态上的作用是变换矩阵左乘以右矢进行计算的。例如一开始有一个量子态|

\varphi_{_{0}}

〉，经过酉变换U之后得到

或者也可以写为

由此可见，两个矢量的内积经过同一个酉变换之后保持不变。

类似地，也可以通过酉变换表示密度矩阵的演化

这样就连混合态的演化也包含在内了。

二、矩阵的指数函数

一旦定义了矩阵乘法，就可以利用函数的幕级数来定义矩阵的函数，这其中就包含矩阵的指数函数。如果A是一个矩阵，那么

...就为矩阵A的指数函数形式。

如果A是一个对角矩阵，即A=diag（A11,A22,A33,...），则由此验证

从而得到

如果A不是一个对角矩阵，则利用酉变换可以将它对角化，D=UAU+，从而有

那么，类似地

必须要引起注意的是

当A是表示数的时候等号是成立的，那么，当A表示是矩阵时，等式成立要满足什么条件？

通常，下面这种表达形式被称之为以A为生成元生成的酉变换

这种矩阵的指数运算可以利用数值计算软件Matlab中的expm，或者Mathematica中的MatrixExp命令进行方便地计算。

三、单位矩阵

I=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}

以单位矩阵为生成元，可以构建一种特殊的酉变换。

它作用在态矢上面，相当于对于态矢整体（或者说每个分量同时）乘以一个系数。如果将这种态矢带入到密度矩阵的表达式中，会发现这一项系数会被消去。

这项系数称为量子态的整体相位。因为任何操作和测量都无法分辨两个相同的密度矩阵，所以量子态的整体相位一般情况下是不会对系统产生任何影响的。

四、单量子比特逻辑门

在经典计算机中，单比特逻辑门只有一种-非门（NOTgate），但是在量子计算机中，量子比特情况相对复杂，存在叠加态、相位，所以单量子比特逻辑门会有更加丰富的种类。

五、泡利矩阵

泡利矩阵（Pauli matrices）有时也被称作自旋矩阵（spin matrices）。有以下三种形式分别是

三个泡利矩阵所表示的泡利算符代表着对量子态矢量最基本的操作。如将

\sigma _{x}

作用到|0〉态上，经过矩阵运算，得到的末态为|1〉态。泡利矩阵的线性组合是完备的二维酉变换生成元，即所有满足UU+=I的U都能通过下面这种方式得到

介绍单量子逻辑门时，会使用下图来表示。

横线表示一个量子比特从左到右按照时序演化的路线，方框表示量子逻辑门，这个图标表示一个名为U的逻辑门作用在这条路线所代表的量子比特上。对于一个处于|

\psi _{0}

〉的量子态，将这个量子逻辑门作用在上面时，相当于将这个量子逻辑门代表的酉矩阵左乘这个量子态的矢量，然后得到下一个时刻的量子态|

\psi _{1}

〉。即

这个表达式对于所有的单比特门或者多比特门都是适用的。对于一个有n个量子比特的量子系统，它的演化是通过一个

2^{n}\times 2^{n}

的酉矩阵来表达。

六、常见逻辑门

注意：各个逻辑门的含义会在下一篇详细讲解

• Hadamard（H）门
• Pauli-X 门
• Pauli-Y 门
• Pauli-Z 门
• 旋转门（rotation operators）
• 多量子比特逻辑门
• CNOT 门
• CR 门
• iSwAP 门