傅里叶级数电路分析——傅里叶级数表示介绍

了解傅里叶级数在电路分析和傅里叶级数方程中的重要性，同时深入了解该分析工具的工作原理。

傅里叶级数是一种强大的工具，可以将非正弦周期波形表示为正弦波形的总和。在本文中，我们将首先通过介绍傅立叶级数的众多应用之一，即电路分析来讨论其重要性。然后，我们将讨论傅里叶级数方程，并尝试深入了解该分析工具的工作原理。

使用正弦波形的电路分析：RL 电路示例

在走得太远之前，应该注意正弦波形在解决许多工程和科学问题中起着关键作用。例如，在电路分析中，了解对不同频率的正弦波形的响应可以让我们确定对其他类型波形的稳态响应。为了更好地理解这一特性，让我们研究一下图 1 所示的简单 RL（电阻-电感）电路。

RL 电路示例

假设输入是一个正弦电压，由下式给出：

公式

在 t = 0 时，开关闭合，输入应用于电路。可以证明流过电路的电流由下式给出：

公式

其中 θ 是取决于 ω、L 和 R 的参数，上式中的第一项是系统的瞬态响应。顾名思义，瞬态响应是暂时的，通常会随着时间的推移迅速消失，可能在几毫秒内。如果我们保持开关闭合足够长的时间，我们将只剩下第二项，即系统的稳态响应。

稳态响应是与输入频率相同的正弦波。它的相位和幅度可能与输入不同，但具有相同的形状和频率。虽然我们检查了上面的 RL 电路，但该属性适用于任何其他线性时不变 (LTI) 系统，无论是复杂的放大器还是一段导线。如果电路元件是线性且时不变的，则其对频率 ω 的正弦输入的稳态响应是相同频率的正弦波。这不是其他波形（例如方波）的情况，其中电路可以改变波形形状并修改其幅度和相位。

对两个正弦分量之和的稳态响应

在上面的例子中，我们观察到电路将输入相位改变了 -θ 并将输入幅度乘以因子 H，由下式给出：

公式

这意味着，通过具有 θ 和 H，我们可以确定任意频率 ω 下正弦输入的稳态响应。如果我们同时在 ω 1和 ω 2处应用两个正弦输入会怎样？换句话说，电路将如何响应以下输入：

电路响应

由于假定电路是线性的，叠加原理表明总输出等于各个输入组件产生的输出之和。因此，稳态响应为：

稳态响应

其中 θ 1和 θ 2分别是输入分量在 ω 1和 ω 2处经历的相移。因此，如果我们知道不同频率的正弦分量的响应，我们也可以确定对任意正弦分量之和的响应。

任意波形的稳态响应

让我们更进一步！知道了对不同正弦输入的响应，我们能否确定对周期性非正弦波形的稳态响应？例如，如果我们输入图 2 所示的方波，我们如何确定电路的稳态响应？

请注意，图 2 仅显示了输入波形的一个周期；换言之，假设图中描绘的部分随着时间以周期性方式重复自身。

方波示例

这就是傅立叶级数的突出之处。傅里叶级数允许我们用正弦波形来描述任意周期波形，例如上述方波。由于我们知道电路对各个正弦分量的响应，我们还可以应用叠加定理来找到对任意波形的响应。

正弦函数之和：从正弦波和方波中学习

在讨论傅里叶级数方程之前，让我们尝试画一幅定性图，说明一些正弦函数的总和如何表示任意波形。考虑图 2 中的上述方波。我们可以用一个正弦函数来近似这个波形吗？

如图 3 所示，与方波频率相同（本例中为 1 Hz）的正弦波非常适合方波，并且沿 x 轴呈现相同的过零。暂时不用担心这个正弦波的幅度是怎么选的。

用单个正弦波逼近方波

上图中，两个波形的整体形状有一些相似之处，但还是有很大区别的。方波在每个半周期保持不变。然而，正弦波分别在方波的正负半周期的中点达到其最大值和最小值。与正弦波不同，方波在过渡时变化更为突然。

总体而言，正弦波似乎无法赶上方波的突变。在这种情况下，单个正弦波似乎不是方波的可接受近似值。但是，如果我们添加另一个正弦分量会怎样？通过添加另一个具有适当幅度和频率的正弦波，我们也许能够获得更好的近似。如图 4 中的红色曲线所示，这个新的正弦波在本例中为 3 Hz。

3 Hz 正弦波示例

青色和红色曲线在方波跃迁附近具有相同的极性。因此，当将两个正弦波相加时，会创建一个过渡比单个正弦波更锐利的波形。然而，对于 0.1667 < t < 0.3333 和 0.6667 < t < 0.8333，两个正弦波具有相反的极性。通过更尖锐的过渡和平坦的波峰和波谷，两个正弦波的总和可以产生更准确的表示（图 5）。

两个正弦波和一个方波的示例波形

这表明，通过添加更多具有适当幅度和频率的正弦分量，我们可以更好地逼近方波。

显示方波和 10 个正弦波的示例

现在我们知道可以将周期信号表示为正弦分量的总和，剩下的问题是，如何为给定波形计算这些正弦分量？