能不能用二进制表示所有实数,然后在二进制下计算它的加减乘除呢?
打开Chrome Console,输入0.3 + 0.6:
简单加法在js算出结果居然不是准确的0.9,而是0.8999999999999999,why?
计算机通常用16/32比特(bit)表示一个数。32比特能表示所有实数吗?显然不。32个比特,只能表示2^32=40亿。超过这数,就会有两个不同的数的二进制表示相同 。计算机就不知道这个数到底是啥。
40亿个数看起来很多,但比起无限多的实数集合也就渺小。到底应该让这40亿个数映射到实数集合上的哪些数,在实际应用中才最划得来?
直观的,4比特表示0~9整数,则32比特即可表示8个这样的整数:
就可用32比特表示从0~999999.99这样1亿个实数。
这种二进制表示十进制的编码方式,叫BCD编码(Binary-Coded Decimal)。最常用的是在超市、银行这样需要用小数记录金额的情况里。超市小数最多到分。这样的表示方式,直观清楚,满足小数部分计算。
即float类型。在一张便签纸上,用一行来写一个十进制数,能够写下多大范围的数? 要让人能够看清楚,所以字最小也有一个限制:纸张宽度限制了能表示的数大小。如宽度只放下8个数,还是只能写下最大到99999999这样的数字。
这纸张宽度和32比特一样,在空间层限制。现实怎么表示大数?如宇宙内原子数量,莫非是用一页纸,用好多行写下很多0?不,我们用科学计数法,如 1.0×10^82
,而非写82个0。
计算机也可采用类似办法,用科学计数法表示实数。浮点数科学计数法有个IEEE标准,定义两个基本格式:
单精度的32比特可分成三部分。
科学计数法的浮点数表示: (−1)s×1.f×2e
这里的浮点数,无法表示0。要表示0和一些特殊数,就要用上在e里留下的0和255,这两个其实是标记位。 e=0 f=0时,就把这个浮点数认为是0:
这样的表示方式下,浮点数能够表示的数据范围一下子大了很多。 因为这个数对应的小数点的位置“浮动”,才被称为浮点数。随指数位e值不同,小数点位置也在动。 对应的,前面的BCD编码的实数,就是小数点固定在某一位的方式,我们也就把它称为定点数。
为什么0.3 + 0.6不能得到0.9? 因为,浮点数没有办法精确表示0.3、0.6和0.9。0.1~0.9这9个数,只有0.5能够被精确地表示成二进制的浮点数:s = 0、e = -1、f = 0。
而0.3、0.6、0.9,都只是近似表达。浮点数无论是表示还是计算其实都是近似计算。