你真的分得清“前后左右”和“东西南北”吗？（三）——向左拐，还是往北走？

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前面文章我们阐明了经纬度的方位描述方法的来龙去脉，相关内容请戳：

你真的分得清“前后左右”和“东西南北”吗？（二）——经纬度的秘密

你真的分得清“前后左右”和“东西南北”吗？（一）——以太阳还是地球当参考系？

今天我们接着上一篇留下的问题，来看看东西南北这样的方位描述，和前后左右的区别和联系。

从东西南北到前后左右

在前面的论述里，我们搞清楚了我们为清晰描述地球上的位置和相对位置建立的参考系：以地球球心为原点，自转旋转面为xoy平面，建立右手坐标系添加oz方向。进而选用球坐标系，以格林威治天文台位置为theta的0度，称为经度，以自转方向为正方向，范围取[- pi, pi]，正负用东西代替；xoy面内投影方向为phi的0度，称为纬度，向右手定则的oz方向为正（南半球为左手定则），范围取[- pi / 2, pi / 2]，正负用北南代替。这样我们可以轻而易举地用经纬度，实际上就是球坐标的theta和phi的值，来确定每个地球上点的位置。而半径r，也就是海拔，对于不会飞的人类来说就另外考虑了。而因为原点取值的对称讲究，使得其数值范围减半，且符号代表了基本位置，以及轻而易举判断相对位置的能力。

此时，地球上任意位置，相对位置，方向，都可以用这个球坐标系上的方位来描述了。对于假定不动的地球参考系来说，这几乎就是位置的绝对描述了。但是，我们在回答别人问路的时候，尤其是南方，仍然会说“先朝前走，再左拐，然后右拐，就到了”。那这种前后左右的描述为什么会存在，和东西南北，有什么本质的区别呢？

这本质的区别，还是在于选用的参考系。东西南北是假定不动的地球，而前后左右，是假定不动的人本身。前后，左右和上下，都是以人的方向为基准的相对方位描述。

比如，对正常没有扭曲的身体，我们可以以肚脐眼为原点，定义“上”指的是肚脐眼到头顶的方向（oz方向），反之为“下”；与之垂直的面内从脊柱上一点指向肚脐的方向为“前”（oy方向），反之为“后”；最后依据右手定则，确定ox方向（即右手指向的方向），即完成人的坐标系建系，以及各个方向的命名了。当然你也可以以后脑勺到脸为ox方向，嘴巴到鼻子为oz方向去建立等等。

这边有几个细节值得注意，人的相对方位，是在人体伸直时候的描述，如果人做出下腰，扭头朝后看等动作，这些方向的描述就会出现歧义。实际上，我们学习前后上下左右这些概念的时候，从来没有建立过坐标系，也能准确记忆和判断，那是因为在伸直状态，不同的定义约摸等价，而且伸直也是有相对方位的基本隐含条件。而当打破的时候，也经常发生歧义问题：比如下腰的时候，前面到底是脸的朝向还是上面定义的肚脐的朝向？扭头的时候，前面是脸还是肚脐的朝向？

另外，地球本身也有这种相对方位，是从球心向外的射线，当人站立的时候，和人的上方向完全一致，而平躺的时候，则不一致了。所以其实就单纯就二者，比较而言，肯定是会有歧义的。又比如，我们说一叠牌的顶部和底部，如果以地球为参考，那么随着正着拿还是倒着拿，是哪一张就有区别，甚至垂直拿都没有顶和底了。而定义为正面指向背面的序列的起点为顶部，就是以牌叠本身为参考系，更能够是和其摆放无关的牌叠本身的性质，才是我们通用的描述方式。而仅背面向上时候，牌叠的空间顶底，才和自身结构的顶底重合，这和人的上下，同地球的上下重合是一个意思。我们知道，汉字也是有上下的，其实和人一样，也是指的自身结构的上下，颠倒过来你会不认识，没学过这种字，你要旋转课本到可读状态，也是找准为你认识的方向的过程。但并不是所有字都有的，比如口，回等是个D4群，就有四个旋转方向和两个朝向，而木林等，也是大致不分左右的D1，即从反面只要透明也能读。并且，我们文字序列的方向说的从左到右，可以看作是以视线射出（眼睛指向物体，或光线进入眼睛的反方向）为oy方向，上为oz方向，右手系的ox方向了。当然，如果是古人竖着写，那就直接按照单个字的上下去找方向就好了。

所以，在我们指路的时候，用前后左右的描述，都是在以直立人体，即从头到脚的方向指向地球球心的人体作为一个移动的参考系来说的。其前后左右是一个地球的切平面上的一个平面直角坐标系xoy。其方向恰为对应东南西北方向扫过角度的切线方向，也是一个平面直角坐标系。而且，除了南北极点，我们很容易可以调整两个系重合。而常见的就是，我们把我们的前调整到地球的北方向，那么自然后就是前北后南，和左西右东了。

各种奇怪的前后左右

这里有人有纳闷了，所以左右，其实指的也是在一个方向上给定正方向以后的相对位置大小，右为正，左为负的文字说明而已。那问路里说的“向右拐”又是什么意思呢？其本质含义其实是把代表前的oy方向转到目前的右方向ox上去，向左拐即- ox上。因为人本质上只有向前走最舒服，所以，相当于为了向右走，得先把前调整过去。使得这时候的向前就是向右了。而文字的向右写，则是以视线射出方向oy和文字本身上下方向oz决定的右手系内的ox方向。注意，这个坐标系和人体正常看文本的坐标系是平移关系，方向符号在其两个原点和坐标轴组成的长方体外都是相同的。故自然地，文字的向右和右手指向的右也都是ox方向，也完全一致。

还有一个场景，就是我们说“向右打方向盘”，其实是说的以人为参考系在近似的xoy平面内，顺时针y向x轴转动的意思，因为这么转动，y值减少，x值增加，自然看起来也有右的意思。而此时带动的车轮，是所谓的向右转，实际上，是以平面上汽车前向为方向的顺时针转动。这会使得汽车向前走一个顺时针圆弧，向后则走一个逆时针圆弧，但走的是同一个圆，看起来都开向了原来汽车参考系的右侧。汽车的参考系做法和人类似，这里的瞬逆时针，自然是以地心射出方向为法向的了，也是近似的视线光想入射方向为oz方向的右手系，以x转向y为逆时针，y转向x为顺时针。如果你倒立开车，你的向右打方向其实以你自身的顺时针，但是你的法向，也就是光线入射方向和汽车原本设计的法向相反了，所以实际上是逆时针，要向左运动了，车也会向左逆时针走。不过此时的左却是你的右，因为你的看地面的视线也反了，还是变回了顺时针。总之方向盘旋转方向和汽车的行进方向总是一致的，不管用什么坐标系，你怎么坐，只要是同一套，那就永远对称一致。如果你直立，却在方向盘下面开，向右也会因为你的入射视线方向反了而逆时针转动，因为此时人体坐标系的oz方向同描述瞬逆时针用的实现反方向反了。而当然如果你向后坐着挂倒挡前进开的话，不影响法向，车却是逆时针走了，因为车的行进方向是靠轮子转动实现，而当前轮拖着走变成后轮推的时候，同样的转向却是相反的时针方向。

注意，我们习惯上，把建立起的oxyz右手系中，xoy方向称为逆时针方向，为正。这也和前面定义东为正的经度方向，地球自转方向一致。而这里和时钟的逆时针的关系是，如果我们以视线反向，即物体的光射向人眼的方向为oz法向，那么时针转的方向就是负的，是顺时针方向。也就是说，我们说的顺时针逆时针，实际上是给定了右手系下的xoy方向，我们通常以视线的反向，即光线进入眼睛的方向为oz建立右手系，xoy为正方向，称作逆时针，负的称作顺时针。

规定起来有点别扭，可能是历史沿革的原因吧！

讲到这里，不知道你有没有发现，凡是在已经知道一个平面参考xoy以后，再建立球坐标的oz的时候，我们总是说默认用右手定则，以拇指方向规定oz的正方向，那右手何德何能有这般待遇，以及到底什么是右手，什么又是右手系？

下篇见最后分晓！

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MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！