如何引导孩子学习初中几何？ 和大闺女悄悄讨论了一次啥是长方形

记录一下国庆期间 (2022.10.5) ，我和我大闺女悄悄， 关于长方形的一次讨论。

(悄悄, 我的大闺女，对数学的学习非常不敏感。 现在刚进入初二， 过去一年中，在平面几何的学习上遇到了很多困难， 所以我花不少时间和她反复讨论几何的基础概念、公理、定理。 而我尤其重视她对数学中的基础概念的理解。)

01

爸爸: 悄悄， 你能给爸爸描述一下， 什么是长方形吗？

悄悄: 两组对边平行且相等， 四个角都是直角的图形，是长方形。

爸爸: 很好， 你刚才一共提到了几个条件呢？

悄悄: 3个。

爸爸: 哪3个？

悄悄:

• 第一：两组对边平行；
• 第二：两组对边相等；
• 第三：4个角是直角；

所以， 一共是三个条件。

爸爸: 很好，3组条件中， 那如果我们要判断一个图形是否是长方形， 你认为所有条件都是必须的吗？有没有一些条件可能是多余的 ？多余的意思就是我们可以用其他条件直接把它推导出来。

悄悄: 嗯 ， 我想想。 之前证明过平行四边形的很多性质， 对边平行和对边相等， 是可以相互推出来的， 所以应该可以把对边相等去除。

（悄悄之前反复的练习过平行四边形的几个等价性质的相互推导， 包括：对边相等、对边平行、对角相等、对角线平分。)

爸爸： 非常正确！

爸爸：那去除多余的条件， 你重新描述一下， 什么是长方形？

悄悄：两组对边平行， 4个角都是直角的图形，是长方形。

02

爸爸：好的， 那假设我们已经知道两组对边平行了， 要知道这个图形是不是长方形， 一定要告诉你4个角是直角吗？告诉你3个角是直角行不行？

悄悄: 嗯， 我得想想。

(思考了30秒后)

悄悄：我觉得3个角是直角和4个角是直角， 应该是一样的。 如果3个角是90度， 由于四边形内角和是360度， 那第四个角一定是90度， 直角啊。

爸爸：非常对， 所以并不需要告诉4个角是直角， 对不对？ 告诉你3个角是直角就可以了。

悄悄：是的。

爸爸：那3个角可以， 只告诉你2个角可以吗 ？

悄悄：哪两个角？

爸爸：不知道是哪两个， 反正就只告诉你， 有两个角是直角。你觉得有几种情况？

悄悄： 第一种情况， 两个相邻的角是直角；第二种情况， 对角是直角；

爸爸：是的， 那你来分析一下， 这两种情况下， 图形还是长方形吗？

悄悄： 嗯， 这个我得画图看看， ABCD 是长方形。 2个角就要分两种情况了，

• 第一种情况， 比如 ∠A, ∠B 是直角。 由对边平行， ∠A + ∠D = 180, ∠B + ∠C = 180, 可以推出 ∠C, ∠D 都是直角；
• 第二种情况， 比如 ∠A , ∠C 是直角。由对边平行， ∠A + ∠D = 180, ∠B + ∠C = 180, 可以推出 ∠B, ∠D 都是直角；

所以， 两种情况下， 都可以得出 ABCD 4个角都是直角。

爸爸：所以对边平行， 只告诉你2个直角， 是不是长方形？

悄悄：是的 。

爸爸： 那请问了， 只告诉你1个角是直角， 这样可以吗？

悄悄： 一个角啊？

爸爸：对， 一个角， 随便哪个角都行。

（思考一分钟后）

悄悄： 如果 ∠A 是直角， 由平行条件， ∠A + ∠D = 180, ∠A + ∠B = 180, 所以 ∠B, ∠D 都是直角, ∠A ，∠B, ∠D 三个角都是直角了， 马上能推出 ∠C是直角。 其他情况也是类似的。

爸爸：如果告诉你∠B 是直角呢？

悄悄：情况应该是一样的啦！ABCD 四个中任何一个是直角， 都可以推出其他角都是直角。

爸爸：所以你来总结一下， 你现在的长方形条件是什么样的？

悄悄：两组对边平行， 一个角是直角。

爸爸：你最早给的长方形要求是啥？

悄悄：两组对边平行，两组对边相等，4个角是直角

爸爸：对比一下， 是不是简单多了！

悄悄：是的！

03

爸爸：4个角是直角条件多， 还是一个角是直角条件多？

悄悄：当然是4个角的条件多， 是4个条件， 一个角是直角只有一个条件。

爸爸：对了， 所以你已经明白了， 4个角是直角可不是一个条件， 而是4个条件。

爸爸：那两组对边平行是几个条件 ？

悄悄：2个。

爸爸：两组对边相等是几个条件 ？

悄悄：2个。

爸爸：那你最早说的 "两组对边平行，两组对边相等，4个角是直角" 一共是几个条件？

悄悄：2 + 2 + 4 = 8, 是8个条件。

爸爸：我们刚才化简的长方形要求： “两组对边平行， 一个角是直角” ， 是几个条件

悄悄：2+1 = 3, 是3个条件

爸爸：来， 重新描述一下你最后的长方形要求

悄悄：两组对边平行， 一个角是直角

04

爸爸： 能不能再砍掉一个条件 ？

悄悄：嗯， 这我得试试。。。。

爸爸：你先试试， 砍掉“一个角是直角”这个条件。

悄悄：（思考了1分钟），感觉是不太行啊。

爸爸：为什么？

悄悄：砍掉“一个角是直角”这个条件，只剩下“两组对边平行”，就变成了平行四边形， 你看， 我能画出一个不是长方形的平行四边形。

爸爸： 那砍掉其他的呢？

悄悄：如果砍掉“一组对边平行”， 剩下的是“一组对边平行，一个角是直角”，嗯， 我试试， 感觉也不行。你看， 这个直角梯形应该是满足条件的， 但也不是长方形；

爸爸：你已经发现了， 这个时候没办法砍掉条件啰。 砍掉任何一个条件，你都能找出一个反例， 它不是长方形。所以呢， 总结一下， "两组对边平行， 一个角是直角", 就是一个长方形的最简条件定义。

爸爸：数学的概念定义， 一个很重要的要求就是保持简洁，方便记忆， 尽可能不要有冗余的条件。所以长方形的最简单定义， 就是"两组对边平行， 一个角是直角", 或者也可以描述为， 一个角是直角的平行四边形。

05

爸爸：还记得我们最早是从哪个长方形的描述出发的吗？

悄悄：两组对边平行，两组对边相等，4个角是直角， 一共是8个条件。

爸爸：那还有没有其他的砍条件的方式呢 ？比如， 你之前提到了， 对边平行和对边相等是等价的， 那我们是不是可以砍掉对边平行， 留下对边相等？

悄悄：我猜是可以的， 长方形应该也可以描述为： “两组对边相等， 一个角是直角的图形是长方形”

爸爸：是的， 你猜对了！

爸爸：其实还可以有不同的方式可以来砍掉多余的条件， 不同的数学家、数学教材在定义长方形的时候， 可以用不同的条件， 但是通常都要求做到简洁，方便记忆。

爸爸：今天咱们的”数学胡萝卜“讨论就到这里， 表现很不错！ 后续我们可以继续试试， 有多少种最简洁的方式来定义长方形？