牛顿—莱布尼兹公式描述了定积分和不定积分的关系。
牛顿—莱布尼兹公式
牛顿—莱布尼兹公式描述了定积分和不定积分的关系．我们已知不定积分是求导的逆运算，而定积分是函数曲线与 x 轴之间的面积，二者乍看起来没什么联系，但牛顿—莱布尼兹公式却揭示了了二者之间的重要关系．
的一个原函数，则：
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)如图，根据定积分的定义：
$$ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\Delta x_{i} \rightarrow 0} \sum_{i} f\left(x_{i}\right) \Delta x_{i} $$
， 所以小矩形的面积变为
f\left(x_{i}\right) \Delta x_{i}=F^{\prime}\left(x_{i}\right) \Delta x_{i} \approx \Delta F_{i}=F\left(x_{i+1}\right)-F\left(x_{i}\right) 最后一步使用了微分近似. 该式可以理解成，右图中的小矩形面积约等于左图中的小竖线长度，原函数
$$ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\Delta x_{i} \rightarrow 0} \sum_{i}\left[F\left(x_{i+1}\right)-F\left(x_{i}\right)\right]=F(b)-F(a) $$
该式可理解为，如果把左图中每一段 \Delta x_{i} 所对应的微小增量 \Delta F_{i} 都加起来，再取极限 \Delta x_{i} \rightarrow 0 ， 就是 F(x) 从 a 到 b 的总增量. 在计算定积分的过程中，为了书写简洁，我们往 往将上式中的 F(b)-F(a) 记为 \left.F(x)\right|_{a} ^{b} .
推导
，则对应的函数增量：
\int_{a}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t 根据积分中值定理：
\Delta \Phi=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t=f(\xi) \Delta x ， \quad(\mathrm{x} \le \xi \le \mathrm{x}+\Delta \mathrm{x})\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta \Phi}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\xi) \Delta x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} f(\xi)=\lim _{\xi \rightarrow x} f(\xi)=f(x)所以：
\Phi^{\prime}(x)=f(x), \quad \Phi(x)=F(x)+C 因为： \begin{array}{c} \Phi(a)=C+F(a)=0\ C=-F(a)\ \Phi(x)+F(a)=F(x) \end{array}
因此： \Phi(b)=F(b)-F(a)
\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)算例
定积分上下限求导
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t ，有：
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[F(x)-F(a)]=f(x) 类似地， 对积分下限求导如：
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{x}^{a} f(t) \mathrm{d} t=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[F(a)-F(x)]=-f(x) 对上下限同时求导如：
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{-x}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[F(x)-F(-x)]=f(x)+f(-x)参考资料
