标准误差

我们学过了方差，也学过置信区间，当我们需要度量某个统计量关于真值的偏差时，就需要用到标准误差的概念。

简介

我们熟悉方差、标准差，除了标准差还有 标准误差的概念，也称做 标准误，标准差与标准误差是两个不同的概念。

标准误差是指在抽样试验（或重复的等精度测量）中，常用到样本平均数的标准差。

标准误差是当前应用最广泛、最基本的一种随机误差的表示方法，当标准误差求得后，平均误差和极限差即可求得故国际上普遍采用标准误差作为实验结果质量的数字指标

• 定义为：

推导过程

• 设 \mathrm{n} 个测量值的误差为 E_{1} 、 E_{2} \ldots \ldots E_{n^{\prime}} 则这组测量值的标准差 \sigma 等于:

$$ \sigma=\sqrt{\frac{E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+\cdots+E_{n}^{2}}{n}}=\sqrt{\frac{\sum E_{i}^{2}}{n}} $$

其中， E_i=X_i-T_i 式中： E - 误差； X - 测定值； \mathrm{T} - 真实值。

• 上述得到的标准差表示的是单次测量精度，如果我们等精度地 m 次测量数据，假设真值为 T ，我们会得到 {x_1, x_2,…,x_m} 测量样本，并且用均值 \bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{m}{x_i}}{m} 来估计 T ，那么这个估计的偏差是多少呢
• 我们可以计算 \bar{x} 的均值为 T ，方差为:
• 的标准差为:

• 表示的是用于估计测量 T 的统计量 \bar{x} 的波动程度
• 如果需要确定 \bar{x} 的置信度和置信区间，只需要用 \sigma_m 作为标准差计算就可以了
• 需要注意的是，标准误差不是测量值的实际误差，也不是误差范围，它只是对一组测量数据可靠性的估计。标准误差小，测量的可靠性大一些，反之，测量就不大可靠。

标准误与标准差的区别

标准差与标准误的意义、作用和使用范围均不同。

• 标准差（亦称单数标准差）一般用 s 表示，是表示个体间变异大小的指标，反映了整个样本对样本平均数的离散程度，是数据精密度的衡量指标；
• 标准误一般用 s_{\bar{x}} 表示，反映样本平均数对总体平均数的变异程度，从而反映抽样误差的大小，是量度结果精密度的指标，反映的是统计量的误差。

参考资料

• https://wiki.mbalib.com/wiki/标准误差