量子计算在金融领域的应用：期权定价

量子发烧友

发布于 2023-02-24 15:24:33

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概述

2021年3月11日，十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议。“十四五”规划强调“数字经济”是未来推动经济发展的重要手段，要对中国现有经济全面进行“数字化”转型，大力发展数字经济，扎实推进传统产业数字化赋能改造提升。目前在金融领域，各大国有商业银行、股份制商业银行、城商行和互联网银行也都开启了数字化转型的工作。然而，金融数字化转型推动传统业务信息化、日常操作线上化、决策分析智能化的同时，也对金融系统的算力提出了更高要求。

金融业涉及到各种数值和分析任务，例如期权定价、信用评级、投资组合优化等，都需要大量的定量分析工作，而其提高的计算速度和精度将带来巨大的社会价值。量子计算机利用量子叠加原理和纠缠性的新型计算模式，有着极强的并行能力，和随着量子比特数量的增加呈指数型增长的强大算力，具有远超经典计算机的算力优势，可高效快速分析海量数据，能够极大提升金融服务的数字化水平和响应速度。量子幅度估计（QAE）算法于2002年提出，在2018年被指出可以有效代替蒙特卡罗方法，应用于金融分析并实现平方加速，目前已在期权定价和信用风险分析中实现初步应用演示。本文将对量子计算在期权定价的应用进行介绍。

量子计算在金融领域的应用

1.1 量子计算对于金融行业的意义

麦肯锡和摩根大通等机构的多份报告均指出，金融是最有可能率先通过量子计算获益的行业之一。量子金融（即Financial-Quantum，简称Fin-Q），特指量子科技在金融行业中的应用。

在现代的金融行业体系中，产品的结构已是越来越复杂，金融的数据具有复杂、高维度、低价值纯度、实效性的特点，经典计算机的算力瓶颈约束已然是限制金融行业数字化创新发展的主要因素之一。量子计算是利用量子叠加原理和纠缠性的新型计算模式，相较经典计算具有巨大潜力，能够帮助算力迭代升级，帮助分析大量异构数据，进而进行金融和预测，并理解经济现象，在数据挖掘、通信安全、机器学习等多个层面提供更卓越的基础设施。不仅如此，随着数据对金融影响的深入，量子计算甚至可能改变金融业务及安全风控的底层逻辑。量子金融科技时代，对于需要大量算力加持的金融领域，量子计算将起着非常重要的作用，量子算法独有的优势会在一定程度上弥补经典算法的缺陷，赋能金融行业海量高速数据业务的处理，极大提升金融服务效率，和提高金融服务的品质，对金融行业的快速、稳健发展意义重大。

习近平总书记在2020年10月16日主持中共中央政治局第24次集体学习时强调：“要充分认识推动量子科技发展的重要性和紧迫性，加强量子科技发展战略谋划和系统布局，把握大趋势，下好先手棋。”有研究表明，量子科技具有巨大的应用价值和前景，并且在国家政策护航下，未来量子科技市场规模将突破千亿元级别。FinTech时代，科技已成为商业银行的核心能力，在众多新兴精尖技术中，量子计算由于其潜在的超越经典计算的强大算力，在商业银行应用领域前景广阔。

1.2 期权定价的概念阐述

期权属于金融衍生产品的范畴。就期权其本身而言，它并不是某一独立的证券，但它通常又是由证券衍生而来，依附于某一证券且以其为标的资产，因而常称衍生证券或金融衍生产品。如中国香港交易所推出的长实股票期权，它不是由该公司发行的，也不需该公司授权。

期权合约，是指交易所统一制定的、规定买方有权在将来某一时间以特定价格买入或者卖出约定标的物的标准化合约。

期权交易最重要的是权利金价格。期权定价的过程，是根据影响期权价格的因素，通过适当的数学模型，去分析模拟期权价格的市场变动情况，最后获得合理理论价格的过程。期权价格是由买卖双方竞价产生的。期权价格分成两部分，即内涵价值和时间价值。期权价格=内涵价值+时间价值。

内涵价值

内涵价值指立即履行合约时可获取的总利润。具体来说，可以分为实值期权、虚值期权和两平期权。

（1）实值期权

当看涨期权的执行价格低于当时的实际价格时，或者当看跌期权的执行价格高于当时的实际价格时，该期权为实值期权。

（2）虚值期权

当看涨期权的执行价格高于当时的实际价格时，或者当看跌期权的执行价格低于当时的实际价格时，该期权为虚值期权。

（3）两平期权

当看涨期权的执行价格等于当时的实际价格时，或者当看跌期权的执行价格等于当时的实际价格时，该期权为两平期权。

看涨期权是指在协议规定的有效期内，协议持有人按规定的价格和数量购进股票的权利。期权购买者购进这种买进期权，是因为他对股票价格看涨，将来可获利。购进期权后，当股票市价高于协议价格加期权费用之和时(未含佣金)，期权购买者可按协议规定的价格和数量购买股票，然后按市价出售，或转让买进期权，获取利润；当股票市价等于协议价格加期权费用之和时，期权购买者将受一定损失；当股票市价低于协议价格时，期权购买者的期权费用将全部消失，并将放弃买进期权。因此，期权购买者的最大损失不过是期权费用加佣金。

看涨期权是这样一种合约：它给合约持有者(即买方)按照约定的价格从对手手中购买特定数量之特定交易标的物的权利。这个约定的价格称为履约价格，通常用“X”来表示。把交易对手称为期权的卖方。期权分为欧式期权和美式期权。美式期权的买方可以自期权契约成立之日起，至到期日止，这一期间内的任一时点，随时要求期权的发行人执行合约。而欧式期权的履约时间只有到期日当天而已，其被要求履约的机率远低于美式期权。由于期权合约上书写的交易标的物不同，看涨期权可以是股票期权、股票指数期权、外汇期权、商品期权，也可以是利率期权，甚至是期货合约期权、掉期合约期权。

看跌期权指期权买方按照一定的价格，在规定的期限内享有向期权卖方出售商品或期货的权利，但不负担必须卖出的义务。看跌期权又称“空头期权”、“卖权”和“延卖权”。在看跌期权买卖中，买入看跌的投资者是看好价格将会下降，所以买入看跌期权；而卖出看跌期权方则预计价格会上升或不会下跌。

双向期权又称“双重期权”。指期权购买方在向期权卖方支付一定的权利金后，获得在未来一定期限内根据合同约定的价格买进或卖出商品、期货的权利。投资者在同一时期内既买了看涨期权，又买了看跌期权，这种情况是在对未来价格确定不准时，而采取的一种投资策略。对于买入双向期权者来说，只要价格有波动，就可以从中行使权利获利。但一般而言，这种期权的卖出者坚信价格变化不会很大，所以才愿意卖出这种权利，获得一定的权利金收益。

期权之所以有价值，是因为买入期权，便拥有了在约定的时间以约定的价格买入或卖出标的资产的权利。拥有了这种权利，便有可能以优于市场价的价格买卖标的资产。为了获得这种权利，买方需支付一定的权利金，也就是期权的价格。

1.3 期权定价的影响因素

影响期权价值的因素主要有标的资产价格、无风险收益率、剩余期限、行权价格、波动率等。

期权价格敏感性指标

Delta（δ）：衡量标的价格变动对期权价格的影响程度

Delta是期权价值对标的价格的一阶偏导，又被称为期权的斜率。认购期权Delta为正值，处于0至1之间，平值期权Delta约为0.5；认沽期权Delta为负值，处于0至-1之间，平值期权Delta约为-0.5。

Gamma（γ）：衡量d值变动对期权价格的影响程度

Gamma是期权价值对标的价格的二阶偏导，又被称为期权的曲率，认购期权和认沽期权Gamma都是正值，深度实值与深度虚值的Gamma值接近于0，平值附近的期权Gamma值（曲率）最大。

Vega：衡量标的波动率变动对期权价格的影响程度

波动率增加，认购和认沽期权的价值均增加，所以Vega均为正值。平值期权对于波动率最敏感，所以平值期权Vega值最大。

Theta：衡量时间流逝对期权价格的影响程度

Theta又称“时间损耗因子”，期权价值随到期日临近而损耗，Theta都为负值，平值期权价值的时间损耗最快。

Gamma和Theta与剩余期限关系

临近到期日的平值期权Gamma风险最大，时间价值损失最快，70%期权时间价值在最后1个月中流逝。

波动率是期权定价和对冲的核心要素

未来实际波动率：期权存续期内的实际波动率，期权价值由实际波动率决定，期权到期前谁都不知道实际波动率是多少。

隐含波动率：市场对实际波动率的一致预期，期权价格由隐含波动率决定，对对冲者而言，隐含波动率与实际波动率的偏差是Vega风险，需要对冲掉。

各投资者的预期波动率：反映各投资者对实际波动率的预期。对套利者而言，预期波动率与隐含波动率的偏离是套利机会，由隐含波动率的变化带来的Vega风险是套取利润的来源。

期权的特殊性就在其权利义务的不对称，而呈现出非线性收益的特征，在投资组合中的应用更加灵活。

投资都有生命线，及时止损才能活下去，走得远，留得青山在不怕没材烧，所以风控是交易体系必不可少的一环。风险无处不在，种类繁多，近些年全球重大风险事件频发——美国“911”、次贷危机、英国脱欧、埃博拉疫情、中美贸易战，还有正在流行的新冠。应对不好可能都小命不保，因此风险管理非常重要。有句话讲看不见的风险才是最大的风险，我们能做的就是管理好看得到的风险。尤其大宗商品本身具有价值，而价格是交易出来的，受到很多因素影响，但始终围绕价值波动。根据有效市场理论，价格部分或者全部反映了这个市场的基本信息，最终就是管理价格风险。

1.4 期权定价的定价方法

期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世。B-S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。大多从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。

1979年，科克斯(Cox)、罗斯(Ross)和卢宾斯坦(Rubinstein)的论文《期权定价:一种简化方法》提出了二项式模型(Binomial Model)，该模型建立了期权定价数值法的基础，解决了美式期权定价的问题。

定价方法：Black-Scholes公式

B-S模型利用复制资产和无套利假设的方法，得出了反映期权价格与标的价格、时间之间的微分方程，并求解出著名的B-S期权定价公式。

C为认购期权，P为认沽期权，S为标的，K为行权价

为波动率，r为无风险收益率，T为期权剩余期限

N（d1）表示：

（1）复制期权需买入的标的数量；

（2）避险比率；

（3）期权理论价值对股价一阶偏导；

（4）对应标的对等头寸。

N（d2）表示期权到期被执行概率

SN（d1）表示复制期权需买入标的市值

Ke-rTN（d2）表示复制认购期权需借入金额

期权平价公式：P = C + K - S

C是看涨期权价格，P是有相同到期日和行权价的看跌期权的价格，S是股票价格，K是行权价。期权平价公式意味着持有一份价格为C的欧式认购期权合约+现金Ke-rt，与持有一份价格为P的欧式认沽期权合约+对应的标的S完全等价，期权平价公式的成立是期权套利策略得以实施的基础。

随着期权市场发展越来越迅速、交易策略越来越复杂，美式期权、奇异期权等各种新产品的诞生，像传统欧式期权那样能用解析解定价的期权合约已经越来越少。伴随着计算机技术的进步，学界和业界都开始运用各类数值方法对期权进行定价，最常用的两种方法是蒙特卡罗方法和有限差分方法。蒙特卡罗方法主要适用于衍生品收益与标的资产的历史价格有关或者有多个标的资产的情形，其基于风险中性理论，用算术平均代替理论的期望值，用离散代替连续，起到简化近似的效果。

有限差分方法则适用于期权持有者可以提前行权的美式期权或其他需要在到期日之前做出某种决定的衍生产品，通过数值求解微分方程（用差分方程替代微分方程）的方式达到定价的目的。

2. 量子计算应用于期权定价

2.1量子计算于期权定价的应用

复杂资产（例如股票期权）定价背后的大部分科学都涉及组合计算。例如，当高盛为衍生品定价时，它采用了一种高度计算密集型的计算方法——蒙特卡洛模拟(Monte Carlo simulation) ，这种方法根据模拟的市场走势进行预测。

衍生品定价一直是金融市场研究的焦点。通常解法是通过简化场景来处理，例如，传统欧式期权可使用Black-Scholes-Merton（B-S-M）模型直接得到解析解，或是通过蒙特卡洛（Monte Carlo）抽样得到期望数值解。鉴于只有少量金融衍生产品可以直接求得解析解，大多数产品往往是通过在不确定性分布（如正态或对数正态分布）中重复多次随机抽样来进行数值求解，因此蒙特卡洛模拟被广泛应用。但随着期权复杂度越来越高，传统定价方法消耗的资源不断增多，运用量子算法对金融衍生品进行定价逐渐成为学界和业界关注的新方向。量子幅度估计算法（Quantum Amplitude Estimation， QAE）于2002年提出，并不断发展，被认为可有效代替蒙特卡洛方法应用于金融分析，在收敛速度方面较经典算法实现二次方级别加速。本文针对期权定价经典场景，将量子幅度估计算法应用于我国金融市场的看涨欧式期权定价，以期助力量子算法在金融市场的应用。

2.2 基于qGAN的期权定价

以下将验证量子机器学习算法，即量子生成对抗网络 (qGAN)是如何促进欧式看涨期权的定价。更具体地说，可以训练 qGAN，以便量子电路模拟欧洲看涨期权基础资产的现货价格。然后可以将生成的模型集成到基于量子幅度估计的算法中，以评估预期收益。

（代码省略。。。）

Black-Scholes 模型假设到期时的现货价格欧式看涨期权是对数正态分布的。因此，我们可以在来自对数正态分布的样本上训练一个 qGAN，并将结果用作该选项的不确定性模型。下面，我们构建一个加载不确定性模型的量子电路。电路输出读数