【面试高频题】难度 2.5/5，综合贪心的序列 DP 题

题目描述

这是 LeetCode 上的「646. 最长数对链」，难度为「中等」。

Tag : 「贪心」、「排序」、「二分」、「序列 DP」、「LIS」

给出 n 个数对。 在每一个数对中，第一个数字总是比第二个数字小。

现在，我们定义一种跟随关系，当且仅当 b < c 时，数对

才可以跟在

后面。我们用这种形式来构造一个数对链。

给定一个数对集合，找出能够形成的最长数对链的长度。你不需要用到所有的数对，你可以以任何顺序选择其中的一些数对来构造。

示例：

输入：[[1,2], [2,3], [3,4]]

输出：2

解释：最长的数对链是 [1,2] -> [3,4]

提示：

• 给出数对的个数在

范围内。

排序 + 贪心 DP

起始先将 pairs 根据第一维排升序（或直接双关键字排升序）。

考虑定义

为以

为结尾的最长数对链长度，所有

中的最大值为答案。

不失一般性考虑

该如何转移：不难发现

为所有满足「下标范围在

，且

」条件的

的最大值。

但实际上，我们只需要从

开始往回找，找到第一个满足

的位置

即可。

容易证明该做法的正确性：假设贪心解（该做法）找到的位置

不是最优位置，即存在比

更小的合法下标

满足

。根据我们的排序规则必然有

的性质，则可知

必然可以代替

接在原本以

为结尾的最优数链上（最优数链长度不变，结果不会变差），则至少有

。

代码：

class Solution {
    public int findLongestChain(int[][] pairs) {
        Arrays.sort(pairs, (a,b)->a[0]-b[0]);
        int n = pairs.length, ans = 1;
        int[] f = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            f[i] = 1;
            for (int j = i - 1; j >= 0 && f[i] == 1; j--) {
                if (pairs[j][1] < pairs[i][0]) f[i] = f[j] + 1;
            }
            ans = Math.max(ans, f[i]);
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：排序的复杂度为

；不考虑剪枝效果 DP 复杂度为

。整体复杂度为

• 空间复杂度：

排序 + 贪心 DP（优化转移）

根据上述分析，我们知道对于一个特定的

而言，其所有合法（满足条件

）的前驱状态

必然是非单调递增的。

根据 LIS 问题的贪心解的思路，我们可以额外使用一个数组记录下特定长度数链的最小结尾值，从而实现二分找前驱状态。

具体的，创建

数组，其中

代表数链长度为

时结尾元素的第二维最小值为

。

如此一来，当我们要找

的前驱状态时，等价于在

数组中找满足「小于

」的最大下标。同时，我们不再需要显式维护

数组，只需要边转移变更新答案即可。

❝不了解 LIS 问题的同学可以看前置 🧀 : LCS 问题与 LIS 问题的相互关系，以及 LIS 问题的最优解证明 🎉🎉🎉 ❞

代码：

class Solution {
    public int findLongestChain(int[][] pairs) {
        Arrays.sort(pairs, (a,b)->a[0]-b[0]);
        int n = pairs.length, ans = 1;
        int[] g = new int[n + 10];
        Arrays.fill(g, 0x3f3f3f3f);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int l = 1, r = i + 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r >> 1;
                if (g[mid] >= pairs[i][0]) r = mid;
                else l = mid + 1;
            }
            g[r] = Math.min(g[r], pairs[i][1]);
            ans = Math.max(ans, r);
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：排序的复杂度为

；DP 复杂度为

。整体复杂度为

• 空间复杂度：

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.646 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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