【月度刷题活动同款】与位运算结合的简单贪心题
题目描述
这是 LeetCode 上的「397. 整数替换」，难度为「中等」。
Tag : 「DFS」、「BFS」、「贪心」
给定一个正整数 n ，你可以做如下操作：
- 如果
n是偶数，则用n / 2替换n。 - 如果
n是奇数，则可以用n + 1或n - 1替换n。
n 变为
所需的最小替换次数是多少？
示例 1：
输入：n = 8
输出：3
解释：8 -> 4 -> 2 -> 1
示例 2：
输入：n = 7
输出：4
解释：7 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
或 7 -> 6 -> 3 -> 2 -> 1
示例 3：
输入：n = 4
输出：2
提示：
DFS
运用 DFS 进行求解。为防止重复处理某些数值，可以使用「哈希表」进行记忆化。
代码：
class Solution {
Map<Long, Integer> map = new HashMap<>();
public int integerReplacement(int n) {
return dfs(n * 1L);
}
int dfs(long n) {
if (n == 1) return 0;
if (map.containsKey(n)) return map.get(n);
int ans = n % 2 == 0 ? dfs(n / 2) : Math.min(dfs(n + 1), dfs(n - 1));
map.put(n, ++ans);
return ans;
}
}
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
BFS
同理，也可以使用 BFS 进行求解。同样使用「哈希表」记录步数，进行防止重复处理。
代码：
class Solution {
public int integerReplacement(int n) {
if (n == 1) return 0;
Map<Long, Integer> map = new HashMap<>();
Deque<Long> d = new ArrayDeque<>();
d.addLast(n * 1L);
map.put(n * 1L, 0);
while (!d.isEmpty()) {
long t = d.pollFirst();
int step = map.get(t);
long[] ns = t % 2 == 0 ? new long[]{t / 2} : new long[]{t + 1, t - 1};
for (long x : ns) {
if (x == 1) return step + 1;
if (!map.containsKey(x)) {
map.put(x, step + 1);
d.addLast(x);
}
}
}
return -1;
}
}
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
贪心（位运算）
上述两种做法，我们不可避免地在每个回合枚举了所有我们可以做的决策：主要体现在对
为奇数时的处理，我们总是处理
和
两种情况。
我们可以从二进制的角度进行分析：给定起始值
，求解将其变为
的最小步数。
- 对于偶数（二进制最低位为
）而言，我们只能进行一种操作，其作用是将当前值
其进行一个单位的右移；
- 对于奇数（二进制最低位为
）而言，我们能够进行 +1 或 -1 操作，分析两种操作为
产生的影响：
- 对于
+1操作而言：最低位必然为
，此时如果次低位为
的话， +1 相当于将最低位和次低位交换；如果次低位为
的话，+1 操作将将「从最低位开始，连续一段的
」进行消除（置零），并在连续一段的高一位添加一个
；
- 对于
-1操作而言：最低位必然为
，其作用是将最低位的
进行消除。
因此，对于
为奇数所能执行的两种操作，+1 能够消除连续一段的
，只要次低位为
（存在连续段），应当优先使用 +1 操作，但需要注意边界
时的情况（此时选择 -1 操作）。
代码：
class Solution {
public int integerReplacement(int _n) {
long n = _n;
int ans = 0;
while (n != 1) {
if (n % 2 == 0) {
n >>= 1;
} else {
if (n != 3 && ((n >> 1) & 1) == 1) n++;
else n--;
}
ans++;
}
return ans;
}
}
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.397 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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