Go 数据结构和算法篇（十五）：二叉树的定义和存储

一、树的相关概念

树这种数据结构模拟了自然界中树的概念，自然界中的树有根、叶子、枝干，数据结构中的树也是如此，只不过是倒过来的：

二叉树图示

其中的每个元素叫做节点。树的顶点（没有父元素的节点）叫根节点，如 E；每个分支的末端节点（没有子元素的节点）叫叶子节点，如 G、H、I、J、K、L；用来连接相邻节点之间的关系叫父子关系，比如 E 是 A、F 的父节点，A、F 是 E 的子节点；具有同一个父节点的多个子节点叫做兄弟节点，比如 A、F 是兄弟节点。

节点拥有的子节点数目叫做节点的度，显然，叶子节点的度为 0，树的度是树内各节点度的最大值。

除此之外，树还有高度、深度和层的概念：

注：其实线性表也可以看作一种特殊的树，只不过所有节点都在一个分支上，第一个元素是根节点，最后一个元素是子节点，没有兄弟节点。层数就是线性表的长度。

多个互不相交的树可以构成森林。

二、二叉树的定义

二叉树是我们平时遇到的最常见的树结构，它是一种特殊的树，顾名思义，就是每个节点最多有两个「分叉」，即两个子节点，分别是左子节点和右子节点，不过，二叉树并不要求每个节点都有两个子节点，有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节点。比如下面这些都是二叉树：

根据左右子节点的饱和度，我们又从二叉树中提取出两种特殊的二叉树 —— 满二叉树和完全二叉树。满二叉树即所有分支节点都有左右子节点，并且所有叶子节点都在同一层上，如上面的图2便是满二叉树。完全二叉树要复杂一些，深度为 k 有 n 个节点的二叉树，当且仅当其中的每一节点，都可以和同样深度 k 的满二叉树，序号为 1 到 n 的节点一对一对应时，称为完全二叉树，比如上面的图3就是完全二叉树。

三、二叉树的特性

在讨论二叉树的创建和存储之前，我们先来总结下二叉树的一些特性，以便后续用到（这里二叉树数的深度定义采用的最大层次数，如果从 0 开始计算的话，可以自行推演一下）：

性质1：

在第 i 层最多有 2i-1 个节点。

性质2：

深度为 k 的二叉树最多有 2k-1 个节点。

性质3：

对于任何一个二叉树，叶子节点数为 n0，度为 2 的节点数为 n2，则 n0 = n2+1。

性质4：

性质5：

树这种结构不能简单通过线性表的前后关系来存储，在线性表中，一个节点只有至多一个前驱节点和至多一个后驱节点，树则不然，一个节点可能有多个后驱节点，这个时候，我们需要通过更加复杂的结构才能存储树。

二叉树是一种特殊的树，比多叉树要简单，因为特定节点至多只有两个节点，这就极大简化了相应的数据结构，使得通过线性表就可以实现二叉树的存储。我们后面基本只讨论二叉树，下面我们通过数组和链表来演示如何存储二叉树。

四、通过数组存储二叉树

对于特定的二叉树而言，比如满二叉树、完全二叉树，它们的节点之间是有一定关联关系的，以下面这棵完全二叉树为例：

完全二叉树

我们按照从上到下，从左到右对所有节点编号，可以看到，下一层的左右子节点和对应父节点序号存在某种数学关系，如果父节点的序号是 i，其对应左子节点位于 2i 的位置上，对应右子节点位于 2i + 1 的位置上，我们可以参照这个规则将上述完全二叉树存储到数组中：

数组存储二叉树

注意我们的下标从 1 开始（根节点），索引为 0 的下标舍弃，浪费这个空间，以方便计算。这样，我们就可以从根节点开始，依次将所有节点元素存放到数组中，并且可以根据节点间的数学关系很方便地遍历整棵树。此外，由于完全二叉树的特殊性，除了第一个元素之外，该数组不存在任何空间的浪费。由于满二叉树是完全二叉树的子集，所以也可以通过这种方式来存储。

那么其它二叉树呢？当然也可以按照这种思路来做，我们把不存在的节点补全，比如假设上述序号为 4、6、8、9 的元素不存在：

二叉树存储

可以看到，我们将不存在的元素补上，只是对应位置值为 null，缺失的节点越多，数组的「空洞」也就越多，如果是极端情况，比如二叉树只包含 1、3、7 三个元素，那么数组中将会存在大量的「空洞」，浪费大量的空间，而且也会影响性能。

综上，数组适合满二叉树、完全二叉树这些特殊二叉树的存储，一些比较稠密的二叉树也可以用数组，如果二叉树比较稀疏就不适合用数组了，我们可以通过链表来存储它们。

五、通过链表存储二叉树

理论上来说，链表适用于所有的二叉树存储，只不过这里我们需要对线性表中的链表进行扩展，因为二叉树特定节点最多有两个子节点，所有我们在链表结点上设置两个指针域，分别指向左右子节点，所以这种链表结构又被称作二叉链表。我们可以通过一个结构体表示二叉链表的节点：

// 节点类
type Node struct {
    Value string
    Left *Node
    Right *Node
}

// 初始化根节点
func NewNode(data string) *Node {
    return &Node{data, nil, nil}
}

如果要用二叉链表表示上面的完全二叉树，对应的图示如下：

链表存储二叉树

不管是什么样结构的二叉树，用链表来存储都不会存在空间的浪费。关于二叉树的创建、查找和删除，需要等到介绍完二叉树的遍历才能开始，下一篇我们就来探讨如何遍历二叉树。

（本文完）