文字对称中的数学与魔术（五）——魔术《69式数字预言》

在上一篇作品中，我们介绍了这个系列的第一个魔术《3 or 8》，算是开了个头，前面内容回顾请戳：

文字对称中的数学与魔术（四）——魔术《3 or 8》

文字对称中的数学与魔术（三）——汉字到中文的对称性

文字对称中的数学与魔术（二）——英文字母到单词的对称性

文字对称中的数学与魔术（一）——阿拉伯数字的对称性

今天我们接着来看下一个作品，是一个我在决定要写这个系列时一个至关重要的作品。下面是当时我想到这个作品时的感悟：

当你努力地日思夜想的时候，你会惊讶于这样的投入和深度思考所产出的思想产物，这种发自本能的探索比任何方法论都有效。但是我也不否认在大多数事情没有这种本能依旧要完成的时候，流程和规范是最有效的，因此，我们也需要项目管理工具。

是的，当时我一遍翻着马丁加德纳的书，一遍脑子里闪过各种魔术原理，数学原理，设计思路，才有了这个成型地让我满意的作品。

69式数字预言

视频1 69式数字预言

这个魔术最初的灵感源自在马丁加德纳全书中的一个数学性质的介绍，自然它也是整个魔术的核心。不过那远非一个可以表演的魔术，哪怕是数学魔术。不过我还是对突如其来的美丽数学性质爱不释手，把它变成数学魔术我想才是它们最好的归宿吧！

这一篇我不妨直接把我如何从这一点基本的数学性质出发，怎么思考，联想，再一点点地变成一个可行的数学魔术的过程分享给大家吧！

首先是这个基本的数学性质：n ^ 3 - n = n(n - 1)(n + 1)，这表面上只是一个很小儿科的因式分解罢了，但是其形式意义和结论本身都有着不错的说法。首先看左边的形式，n ^ 3的显然的几何意义是一个正立方体的体积，而n可以看作n * 1 * 1，即一根截面为单位面积的木棍的体积，所以整个式子表达的就可以是一个正方体被截去一条边的体积，或者是一个立方体箱子摆满单位立方体，只留下最后一条空着的立方体数量。然后看看右边的形式，实际上是连续3个正整数的乘积（n为大于1的整数）。这样一个特殊的数是有很多性质的，这在我讲9性质的课里说如何取构造一个3或9的倍数时，就常常聊到过。首先这三个连续自然数必然构成一个mod3加法群的完全剩余系，所以其中必有一个整除3，同理，至少有1个偶数，所以必然整除2，也就是必然整除6。

如果不是这番数学上的思考分析，你大概做梦也想不到，这么普通摆放的一箩筐方框少了一条楞以后一定会是6个倍数个了。

但一个数是6的倍数，怎么把这玩意变成一个可行的魔术呢？

那自然要充分发挥2和3的倍数在十进制计数法下的各种牛鬼蛇神的特征了。

首先，2的倍数的个位数必然是2的倍数，这可以作为一个小效果，但顶多是锦上添花级别的。

接下来就要用到3的倍数的特征：各位数字之和仍然是3的倍数，作为魔术常见的用法是把一个很长的已经构造为3或9倍数的数去掉一个位，然后根据同余法来猜去掉的数是多少。

但美中不足的是，3不比9那么大，可以刚好区分出0~8的完全剩余系，仅有0和9会重合，在台词上说个不能去除0的补丁就好了。

那补救的办法其实也有，无非就是平方一下，获取一个9的倍数即可。有计算器还好，不然这个数可是膨胀得太厉害了，且平方运算本身也显得刻意。

那还有其他办法吗？

回想起我们可以猜出末位是偶数，那不妨可以把去除的数限定在最后这一位上。最后一位本身的可能性有0,2,4,6,8这5种，我们根据去掉这一位后得到的数字和mod3的值，取mod3加法群内的相反数可得0,1,2三个可能答案，这5个数分别对应的答案是0,2,1,0,2。

所以最后的困难就变成了如何无痕地去抹去我们对0还是6以及2还是8这两个信息的未知。不过这两个哪怕未知的信息内部依然还有个规律，那就是它们的差为6。记在这里，说不定后面就用上了。

要让这两个结果统一，无非就是要使得我们给出的感应或者预言结果具有双关的意思。用数学的话说就是对称，即无论哪个动作或者结局都是合理的惊讶才是，这正是对称合理操作类型魔术的核心原理。

这时候我们互为对称的两个阿拉伯数字6和9终于可以登场了，它也是手写体中唯一一对互为中心对称的阿拉伯数字，而晶体管数字互为对称的还有轴对称的2和5。它们竟然还有共同的特点是差都是3。不过，我们显然直接选了6和9，不是因为姿势好，而是不到万不得已，谁会去用晶体管数字呢？以及，轴对称的数字，要是没有一个透明玻璃来等效的二面体，也没法实现翻转后的等效啊，而中心对称的转换，就简单得多。

好了，也就是说，我们只需要把不能确定的结果，通过一个计算，变成不确定的6和9，而凭借其图形上的中心对称互相可以转化，来达到完成预言的效果。这一步可以看作是一种通信，但是不是表演成感应的那种暗通信，而是明着要结果，然后利用对称的合理表演，仍然制造预言的效果。

还记得前面提到的两组对称结果的差都是6，而我们的6和9差一半3吗？这就很简单了，我们需要先把这个数字除以2，在0,1,2,3,4的范围内，选择对mod 3 = 0, 1, 2的结果分别+6，+5和+1或7，来构造最后的常量6或者9。

不过，这在表演上似乎有些不完美，因为，你已经猜过末位是偶数了，那就只是从5个数里确定一个，信息量一般。当然你可以不猜，仍然保持10个数字里猜的信息量。但是，好好的末位数字偏偏叫我除以2，还不问有没有余数，不猜也相当于猜了。

那怎么改进，使得信息量看起来有10个选项，同时最后的除以2的转化过程不那么生硬呢？

若是直接把整个数在猜完末位是2以后除以2怎么样？此时仍然是个3的倍数，性质可用，但是末位确实就有10种可能了。效果搞不定了呀？

怎么会呢？你再想想，此时末位数值有什么特点？我们不妨回想一下我们作除法的过程，首先百位及以上的部分不会对结果产生影响，因为100的单位整除2。那到十位，如果是偶数，那么显然也不会影响个位，此时末位真的成了0,1,2,3,4中的一员，用上面的策略就好了；如果是奇数，那必然剩下一个10除以2得5，会补充在个位除以2的结果上，于是末位会是5,6,7,8,9。注意这些数不过是原来那一组各自加了5而已，因此分别变成+1，不变和+2即为所求了，可以归结到6和9这两个常量上去。

但这里仍然有个问题，就是我们如果不知道十位是偶数还是奇数这个信息，就无法知道选择哪个参数来制造最后这个6和9的常量。

那这时候就可以用一点点multi-outs的方法来简单解决了。在表演的时候，成功地读出末位的奇偶性以后，再随意猜测倒数第二位的奇偶性，如果猜对了，就当成是魔术效果，如果猜错了，就解释两次都是瞎猜的，好戏在后头。

如果你熟悉了魔术的逻辑，会自然地觉得这是一套十分自然的思考逻辑。

到此，这个魔术的效果就比较立体了，牛刀小试猜了一两个数位的奇偶性，最后抹去他们猜对了末位的值，为了效果达成而做的脏动作，反而成了效果的一部分了。

这个魔术，从设计思路上来看，其实是用到了隐含的信息通信，来修改流程，最后去制造了一个常量。而常量中又应用的对称的做法来进行不可避免地弥补，可以看作是一个以通信为总原理，常量，对称原理为辅助而构造成的一个预测魔术。这是比一般的通信原理的魔术只能感应更加进步的地方，也是上个对称操作系列魔术的典型案例。

生活无处不魔术，魔术无处不数学。

希望你喜欢这样的作品，我们下期见！

作品抢先看！

视频1 689的预言

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！