文字对称中的数学与魔术（一）——阿拉伯数字的对称性

久违了，数学魔术系列重磅回归！

在前两个介绍对称的系列文章《对称与魔术初步（六）——魔术《4选1的诅咒》等》和《对称、群论与魔术（十一）——魔术《百变箭头》等和系列总结》里，我们已经把对称的基本概念以及群这一为对称描述量身打造的工具详尽地作了阐述。接下来的对称相关系列会在这个基础上，深入到一些具体的对象和领域里，来欣赏对称各式各样的精彩。

前文说过，对称的事物天生具有一种可以掌控的美感。这不仅仅指我们熟悉的拥有姓名的轴对称，中心对称，包括循环，以及n边形那种对称，图形上任何平移，旋转，翻折变化下的不变都给我们的观感带来舒适，甚至递归图的放缩不变性也让人振奋。而超脱图形以外，任何操作上的对称不变性都让数学魔术师们兴奋，因为这意味着，世界上又有一个角落，容我去创造奇迹了。

在具体图像操作和抽象的序列操作对称之间摇摆的，有一类对称现象不得不提，那就是语言文字的对称性。

语言文字是人类文明的灵魂，也是其最大的承载渠道。无论是哪国的语言，还是世界通用的阿拉伯数字，其单个字符符号的图形设计上，自然就讲究各种对称的美感的。才疏学浅，我会的语言不多，那就挑阿拉伯数字，英文字母，以及汉字中的对称字符来和大家聊聊吧。

今天先聊最简单也最熟悉的阿拉伯数字。

阿拉伯数字印象

这些符号，你不会不熟悉吧？你想过它们的对称性设计吗？

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

别小看这10个字符，设计那可谓是一个精妙，当人类确定要使用印度人发明的阿拉伯数字的时候，可是经历了无数的战争和屠戮的残酷博弈的。不过本篇不去系统介绍阿拉伯数字的由来了，在进制编码的相关章节，自然会说到。

那这几代表个位数的图案，究竟有什么特点呢？

不知真假，把它写成以不带弯曲的折角形式的时候（我不知道这个叫什么字体，当然也可能压根就没有这种字体），恰好是几个内角就对应数值概念的几，凭借记忆从手机里还找到了这张图。

图1 阿拉伯数字的角

当然并不知道这是否就是印度人设计这些符号的想法，因为看上去这些计算角数量的规则还是有些牵强，比如到底是数锐角，还是不超过直角的角？（8数了钝角），7和9的地方添加的这些横线和弯钩也太牵强了吧，别的都是有棱有角的数字，为啥偏偏0就是一个真的圈？不过作为启蒙而言，让孩子去通过这种关联去记忆这些符号代表的值，也还是有价值的。

那在阿拉伯数字符号里，到底有几种对称呢？

阿拉伯数字的自对称

首先，自身就是对称图形的阿拉伯数字有：0,1,8。这三个本身是近似的左右轴对称图形，如果采用晶体管数字的写法，他们也都是上下对称的轴对称图形，是典型的D2对称（也叫Klein-4 group，其所有单位元以外元素的阶都是2），如图所示：

图1 Klein-4 Group

这个图形自然地把两个翻折操作组合起来，竟然可以构成一个旋转180度效果的中心对称性，也是这个结构重要的性质。证明两条垂直对称轴可以带来一个中心对称性是挺有意思的群论基础问题，可以根据群的定义或者直角坐标内的对应点关系证明，大家有兴趣可以自己推导。

而数字如果用斜体手写的话，那这些数字立马又都变成了仅是中心对称的情况，也就是C2对称的。总之这里有很多变数，可以根据需要写成我们要的样子，哪怕后面会看到有些时候有些牵强。比如你可以把0丧心病狂地写成汉字〇的模样，那就是个无穷阶的循环对称图形了；而1和8，你也可以竭尽所能通过写法去破坏中心对称和两个轴对称性，或者根据需要保留部分。

另外，2和5这两个数的晶体管写法自身是呈现中心对称的，但是更神奇的是他们互相的关系，我们接着往下看。

阿拉伯数字的互对称性

除了自身的对称，在阿拉伯数字里，还有一种十分有趣的形式，那就是互为对称的图形对（无序二元组）。典型成立的有互为中心对称的6和9，如果是晶体管数字的话，还有一组2,5，他们互为轴对称。

直观上，图形自身的对称和互为对称这种关系似乎很好区分。但是从对称是“某性质在某操作下的不变性”这一条定义看来，自身对称很好说，但这里互为对称是啥意思？到底是什么性质，什么操作下不变？你其中一个图形经过翻折，旋转等操作以后，不是变成另一个图形了吗？这描述的明明是一组对应关系，啥不变了呢？

其实还是有不变的东西的，那就是，新图形和旧图形形成的这个整体图形，是一个关于原操作不变的对称图形。用群论的话说，就是该操作构成一个C2的对称群，而原来的图形只是这个群内的初始元素罢了，它不能定义这个群，操作才是，这些元素甚至只是描述这个操作的一个例子。换个图形来，对折，旋转180度，同样能构造出对称图形，图形不一样，这个操作才真的生成和定义了这个群。至于最后这个生成的图形具有对称性，只不过是生成的对称群该有的性质罢了。

从这个角度看，也可以把自身就对称的图形，想象成存在这么一种生成关系，是由两个原始图互相对称然后生成出来的。而任何图形都是个关于一动不动，类似于转360度这样操作对称的图形，是C1群了。

所以你看，不往深处想，根本没把互为对称这种关系单独拎出来想过，它的重点在于这个操作，其实对选哪个图形而言，都是对称的。反过来，真的对称图形，也一定可以拆解成这样所谓互为对称的两个子部（其实是C2群内的两个操作前后的元素），并集才是完整图形。

这样来看，我们的6和9以及晶体管的2和5，只是茫茫图形中符合了前后互为中心和轴对称的两组图案罢了。巧的是它们刚好都是阿拉伯数字，都拥有姓名而已。而晶体管的2和5，你也可以把它拆解成上下的两个基本单元，由旋转180度得到另外一个。故自身的中心对称由此而来，而其轴对称的对象则是2到5的对称关系来的。

在魔术的应用上，如果操作完以后不变，或者变成特定的结果，这都是我们可以利用来设计魔术的哟！

阿拉伯数字对称性再探索

那这些阿拉伯数字中间，还有哪些有趣的对称关系呢？

有个有趣的地方，在这个数字3和8的关系上，8是3左侧对称轴对称过去以后形成新旧图形的并集，而3可以看作是8这个轴对称（中心对称的话得要求上下两个圈一样大）图形的一种生成图形。注意这种生成图形可以有很多，比如还完全可能是S加上轴对称哦！

那你能说出3和8这两个图案的关系吗？

清晰的描述是：8是3这个元素，在沿着其左侧竖直轴轴对称这个操作下生成的C2群的所有2个元素的并集，就像正多边形的一条边和整个图形的关系一样。

你看整个阿拉伯数字里，就只有4和7这两个孤零零的元素和任何自身对称，互为对称，或者作为其他对称图案的生成元的关系搭不上边了，其余的都或多或少地和对称有一丝联系。那应该基本可以说，对称性是阿拉伯数字的一种重要的美学设计点了。而哪怕是4和7，也有和其他元素奇怪的对称关系在，我们后面介绍魔术的部分再揭晓。

阿拉伯数字对称思考题

在总结的过程中，我还发现一个有趣的问题，如果将范围限定在印刷体的3位数，那满足中心对称的有多少个？

你不妨思考一下再往下看。

这个问题考察基础的自身对称，互为对称的概念内涵，以及分类讨论，排列组合，乘法/加法原理，当然还有三位数的定义，非常适合作为一个综合数学素养的考察题目。

首先，处在中间位置的数必须是自身中心对称的，则有0，1，8三种可能，这个选项使得其它所有解都要乘以3。

再来看前后两个位置，要使得中心对称成立，它们要么互为对称，要么自身是对称图形，且两个都是自己。根据加法原理分类讨论，后者很简单，就是0，1，8三对数字，但0不能作百位，只有2种；前者的话，其实仅有6和9这一对，但是，因为两个数字不同，因此占据的两个位置可以看作是可以排列的，故有69和96两个选项，于是总共有5个选项。

综上，一共有12个这样的中心对称三位数，如果算上25这一对，那就是18个，你想对了吗？

下一篇我们将进入下一种文字的对称性赏析，敬请期待！

老规矩，后面将分享的魔术，提前放在这里，抢先看！

视频1 3 or 8

视频2 69式数字预言

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！