Python中的模运算

所谓取模运算，就是计算两个数相除之后的余数，符号是%。如a % b就是计算a除以b的余数。用数学语言来描述，就是如果存在整数n和m，其中0 <= m < b，使得 a \% b = a - n * b = m 。

先测试几个例子：

可以看到，数值部分虽然相同，但是正负符号的四种不同组合，会产生完全不同的四种结果。那么这里面有什么规律吗？ 实际上，虽然结果不一样，不过取模运算完全遵从统一的规则：

a \% b = a- \lfloor\frac{a}{b}\rfloor * b

其中\lfloor\frac{a}{b}\rfloor表示a除以b的结果向下取整。比如9\%5，先计算\lfloor\frac{9}{5}\rfloor，向下取整得到1，然后计算9-1*5，得到4;

同理-9\%5，先计算\lfloor\frac{-9}{5}\rfloor，向下取整得到-2，然后计算-9-(-2*5)，得到1;再来看9\%-5：

9 \% -5 = \lfloor\frac{9}{-5}\rfloor = 9-(-2*-5) = -1

最后是-9\%-5：

-9 \% -5 = \lfloor\frac{-9}{-5}\rfloor = -9-(1*-5) = -4

虽然知道结果是如何计算出来的，不过人脑不比电脑，这样计算未免太复杂，为避免给大脑增加负担，再根据上面的规则，这里我总结了一个简单的记忆方法：

1. 对于不带负号的，2个数字都是正数的，直接求结果，这个应该来说是比较简单的，而且无论符号是什么，我们都只计算这个值；
2. 对于有负号的，不管负号在哪个数字，都去除负号，然后计算步骤1的结果；
3. 接下来根据负号的位置分为3种情况，假设除数是K，去掉负号后取模的结果是M：
   • 2个数都是负数，直接等于-M
   • 被除数是负数，除数是正数，由于是向下舍入，最后相当于会多加上一个K，也就是说模一定是大于0的，结果是K-M
   • 被除数是正数，除数是负数，刚好相反，结果是M-K，注意这里的K是除数的绝对值，是正数

简单归纳：

1. 不管有没有负数，先按正数求模得到M
2. 2个数都为负数，结果是-M
3. 只有1个数为负数，负数在上，记住结果一定是正的，大数-小数（除数-余数），那么就是K-M
4. 只有1个数为负数，负数在下，记住结果一定是负的，小数-大数（余数-除数），那么就是M-K

注：此规律的前提是除的结果一定是向下取整，如果你用java去套这个规律会发现完全行不通。