数据结构-树
树
树的特点
- 每个结点有零个或多个子节点
- 没有父节点的结点为根结点
- 每个非根结点只有一个父节点
- 每个结点及其后代结点整体上可以看作是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树
树的相关术语
结点的度：
一个结点含有的子树的个数称为该结点的度
叶节点：
度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点。
分支结点：
度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点
结点的层次：
从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，一次类推
结点的层序编号：
将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数
树的度：
树中所有结点的度的最大值
树的高度
树中结点的最大层次
森林：
m(m>=0)个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林，给森林增加一个统一的根节点，森林就变成了一棵树
孩子结点：
一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点
双亲结点（父结点）：
一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
兄弟结点：
同一双亲结点的孩子节点间互称兄弟结点
二叉树
基本定义
二叉树就是度不超过2的树（每个结点最多有两个子结点）
满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，就称这个二叉树是满二叉树。
完全二叉树：叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树。
二叉查找树设计
类名 | Node |
|---|---|
构造方法 | Node(Key key,Value value,Node left,Node right);创建Node对象 |
成员变量 | 1. public Node left:记录左子结点2.public Node right:记录右子结点3.public Key key:存储键4.public Value value:存储值 |
类名 | BinaryTree,Value value> |
|---|---|
构造方法 | BinaryTree():创建BinaryTree对象 |
成员变量 | 1. private Node root:记录根节点2.private int N:记录树中元素的个数 |
成员方法 | 1.public void put(Key key,Value value):向树中插入一个键值对2.private Node put(Node x,Key key,Value val):给指定树x上，添加键一个键值，并返回添加后的新树3.public Value get(Key key):根据key，从书中找出对应的值4.private Value get(Node x,Key key):从指定的树x中，找出key对应的值5.public void delete(Key key):根据key，删除树中对应的键值对6.private Node delete(Node x,Key key):删除指定树x上的键为key的键值对，并返回删除后的新树7.public int size():获取树中元素的个数 |
代码实现
public class BinaryTree,Value> {
//记录根结点
private Node root;
//记录树中元素的个数
private int N;
private class Node{
//储存键
public Key key;
//储存值
private Value value;
//记录左节点
public Node left;
//记录右节点
public Node right;
public Node(Key key,Value value,Node left,Node right){
this.key=key;
this.value=value;
this.left=left;
this.right=right;
}
}
/**
* 返回树的长度
* @return
*/
public int size(){
return N;
}
/**
* 向树中添加元素key-value
* @param key
* @param value
*/
public void put(Key key , Value value){
root = put(root,key,value);
}
/**
* 向指定的树中添加key-value,并返回添加元素后新的树
* @param x
* @param key
* @param value
* @return
*/
private Node put(Node x,Key key,Value value){
//如果x子树为空
if(x==null){
N++;
return new Node(key,value,null,null);
}
//如果x子树不为空
//比较x结点的健和key的大小
int cmp = key.compareTo(x.key);
if(cmp>0){
//如果key大于x结点的健，则继续找x结点的右子树
x.right = put(x.right,key,value);
}else if (cmp<0){
//如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
x.left = put(x.left,key,value);
}else {
//如果key等于x结点的键，则继续找x结点的左子树
x.value = value;
}
return x;
}
//查找树中指定key对应的value
public Value get(Key key){
return get(root,key);
}
//从指定的树x中查找key对应的值域
public Value get(Node x,Key key){
//x树为null
if(x==null){
return null;
}
//x树不为null
//比较key和x结点的键的大小
int cmp = key.compareTo(x.key);
if(cmp>0){
//如果key大于x结点的健，则继续找x结点的右子树
return get(x.right,key);
}else if (cmp<0){
//如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
return get(x.left,key);
}else {
//如果key等于x结点的键，就找到了键为key的结点，只需要返回x结点的值即可
return x.value;
}
}
//删除树中key对应的value
public void delete(Key key){
delete(root,key);
}
//删除指定树x中的key的value，返回删除后的树
public Node delete(Node x , Key key){
//x树为null
if(x==null){
return null;
}
//x树不为null
int cmp = key.compareTo(x.key);
if(cmp>0){
//如果key大于x结点的健，则继续找x结点的右子树
x.right = delete(x.right,key);
}else if (cmp<0){
//如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
x.left = delete(x.left,key);
}else {
//让元素个数减一
N--;
//如果key等于x结点的键，完成真正的删除结点动作，要删除的结点就是x
//首先得找到右子树中最小的结点
if(x.right==null){
return x.left;
}
if(x.left==null){
return x.right;
}
Node minNode = x.right;
while(minNode!=null){
minNode = minNode.left;
}
//删除右子树中最小的结点
Node n = x.right;
while (n.left!=null){
if(n.left.left==null){
n.left=null;
}else{
//变换n结点即可
n=n.left;
}
}
//让x结点的左子树，成为minNode的左子树
minNode.left=x.left;
//让x结点的右子树，成为minNode的右子树
minNode.right=x.right;
//让x结点的父结点指向minNode
x = minNode;
}
return null;
}
}查找二叉树最小的键
方法设计
public Key min() | 找出树中最小的键 |
|---|---|
private Node min(Node x) | 找出指定树x中，最小健所在的结点 |
//找出整个树中最小的健
public Key min(){
return min(root).key;
}
//找出指定x中最小的键所在的结点
private Node min(Node x){
if(x.left!=null){
return min(x.left);
}else{
return x;
}
}查找二叉树最大的键
方法设计
public Key max() | 找出树中最大的键 |
|---|---|
private Node max(Node x) | 找出指定树x中，最大健所在的结点 |
//找出整个树中最大的健
public Key max(){
return max(root).key;
}
//找出指定x中最小的键所在的结点
private Node max(Node x){
if(x.right!=null){
return max(x.right);
}else{
return x;
}
}二叉树的基础遍历
分为三种遍历方式
- 前序遍历
先访问根节点，然后再访问左子树，最后访问右子树
- 中序遍历
先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
- 后序遍历
先访问左子树，在访问右子树，最后访问根节点
前序遍历
public Queue preErgodic():使用前序遍历，获取整个树中的所有键
private void preErgodic(Node x,Queue keys)使用前序遍历，把指定树x中所有健放入到key队列中
//获取整个树中所有的键
public Queue preErgodic(){
Queue keys = new Queue<>();
preErgodic(root,keys);
return keys;
}
//获取指定树x的所有键，并放到keys队列中
private void preErgodic(Node x,Queue keys){
if(x==null){
return;
}
//把x结点的key放入到keys中
keys.enqueue(x.key);
//递归遍历x结点的左子树
if(x.left!=null){
preErgodic(x.left,keys);
}
//递归遍历x结点的右子树
if(x.right!=null){
preErgodic(x.right,keys);
}
}中序遍历
public Queue midErgodic()使用中序遍历，获得整个树中的所有键
private void midErgodic(Node x,Queue keys)使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
实现：
- 找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
- 把当前结点的key放入到队列中
- 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
//使用中序遍历，获取指定树x中所有的键，并存放到key中
private void midErgodic(Node x,Queue keys){
//先递归，把左子树中的键放到keys中
if(x==null){
return;
}
//先递归，把当前结点x的键放到keys中
if(x.left!=null){
midErgodic(x.left,keys);
}
//把当前结点x的键放到keys中
keys.enqueue(x.key);
//再递归，把右子树中的键放到keys中
if(x.right!=null){
midErgodic(x.right,keys);
}
}后序遍历
public Queue afterErgodic()使用后序遍历，获取整个树中的所有键
private void afterErgodic(Node x,Queue keys)使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
实现
- 找到当前结点的左子树，若不为空，递归遍历左子树
- 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
- 把当前结点的key放入到队列中
//使用后序遍历把指定树x中所有的键放入到keys中
private void afterErgodic(Node x,Queue keys){
if(x==null){
return;
}
//把左子树所有的键放入到keys中
if(x.left!=null){
afterErgodic(x.left,keys);
}
//通过递归把右子树中所有的键放入到keys中
if(x.right!=null){
afterErgodic(x.right,keys)
}
//把x结点的键放入到keys中
keys.enqueue(x.key);
}层序遍历
从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，
public Queue layerErgodic()使用层序遍历 ，获取整个树中所有的键
实现
- 创建队列，存储每一层的结点
- 使用循环队列中弹出的一个结点
- 获取当前结点的key
- 如果当前结点的左子节点不为空，则把左子节点放入到队列中
- 如果当前结点的右子节点不为空，则把右子节点放入到队列中
//层序遍历
public Queue layerErgodic() throws InterruptedException {
//定义两个队列，分别存储树中的键和树中的结点
Queue keys = new Queue<>();
Queue nodes = new Queue<>();
//默认往队列中放入根节点
nodes.enqueue(root);
while(nodes.isEmpty()){
//从队列中弹出结点，把key放入到keys中
Node n = nodes.dequeue();
keys.enqueue(n.key);
//如果当前结点的左子节点不为空，则把左子节点放入到队列中
if(n.left!=null){
nodes.enqueue(n.left);
}
//如果当前结点的右子节点不为空，则把右子节点放入到队列中
if(n.right!=null){
nodes.enqueue(n.right);
}
}
return keys;
}二叉树的最大深度问题
实现
public int maxDepth计算整个树的最大深度
private int maxDepth(Node x) 计算指定树x的最大深度
步骤：
- 如果根节点为空，则最大深度为0；
- 计算左子树的最大深度；
- 计算右子树的最大深度；
- 当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
//获取整个树的最大深度
public int maxDepth(){
return maxDepth(root);
}
//获取指定树x的最大深度
private int maxDepth(Node x){
if(x==null){
return 0;
}
//x的最大深度
int max=0;
//左子树的最大深度
int maxL=0;
//右子树的最大深度
int maxR=0;
//计算x结点左子树的最大深度
if(x.left!=null){
maxL = maxDepth(x.left);
}
//计算x结点右子树的最大深度
if(x.right!=null){
maxR = maxDepth(x.right);
}
//比较左子树最大深度和右子树最大深度，取较大值+1即可
max = maxL>maxR?maxL+1:maxR+1;
return max;
}版权属于： 吃猫的鱼
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