组合优化(三)：时变IC下的多空/多头最优组合换手率

量化小白

发布于 2023-03-19 11:23:58

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“划重点：

单因子模型，考虑策略风险（即IC时序波动），最大化风险调整后收益的主动增强组合优化

01 无约束下，多空最优组合的换手率的解析解

02 跟踪误差约束下，多头最优组合的换手率的数值优化

03 跟踪误差+个股权重下限+持股数目约束下，多头最优组合的换手率经验公式

主要参考文献：Ding, Martin and Yang, 2020

”

在前两篇组合优化（一）：换手率和alpha模型和组合优化(二):换手约束下的最优模型中，我们都引用了Qian, Sorensen and Hua, 2007（以下简称QSH）推导的无约束条件下多空最优组合的换手率：

其中，N表示股票池数目，σmodel表示组合跟踪误差，𝜌表示alpha预测的一阶自相关系数，σ表示股票平均特质风险。可知，投资组合的目标跟踪误差越大，股票数目越多，alpha预测的一阶自相关系数越小，股票平均特质风险越小，则组合的换手率越高。

QSH公式虽然经典，但若应用于实际投资则存在一个较大的问题——没有考虑策略风险。以单因子模型为例，因子IC是时序变化的，甚至可能出现阶段性反向，例如动量/反转。因子IC的波动率可以视作策略风险，却并未在QSH公式中得到体现。

为解决上述问题，Ding, Martin and Yang, 2020对QSH进行了改进：以单因子模型为例，考虑策略风险（IC时序波动），探讨最大化风险调整后收益的多空最优组合、多头最优组合的换手率。

本篇主要参考Ding, Martin and Yang, 2020，学习思想。参考文献见文末。

基本假设

先说假设。文章关注主动增强组合优化。模型alpha预测为股票相对基准的残差收益r(t)，假设r(t)与基准收益rB(t)不相关，且无条件均值为0。

对于单因子模型，标准化残差收益可以表示为

其中，z表示均值为0、标准差为1的标准化因子暴露，σ表示残差收益的条件标准差。假设误差𝜀截面不相关，且与因子暴露、IC都不相关；IC与因子暴露不相关，IC时间序列满足平稳性，IC均值为𝜇IC，方差为

误差𝜀的协方差矩阵为常量对角矩阵，值为

推导略过，可得，alpha预测的条件均值和条件协方差依次为：

(1)

(2)

其中，I(t-1)表示因子暴露和残差收益的历史值集合，因子暴露序列z表示为

其实都是常见公式，记住黄框的两个公式——条件均值和条件协方差即可，后面会用到。啰嗦一句，条件均值公式各项恰好对应Alpha = IC × Volatility × Score。

无约束下，多空最优组合的换手率

增强组合，最大化风险调整后收益的优化目标表示为

其中，𝜆表示风险厌恶系数。wA(t)表示组合相对基准B的偏离权重。

对于多空零额（dollar-neutral）投资组合，

，可简化得

。使用拉格朗日乘数可推得最优组合权重为

其中，上式括号内第二项（红色下划线）用于保证零额约束，当股票数目N>50时可以忽略。忽略后推导可得，多空最优组合权重为

将上节式(1-2)带入，可进一步得到，

采用与QSH相似的推导过程，多空最优组合的单边换手率

(3)

和多空最优组合的杠杆率（即权重绝对值的和）

(4)

其中，σA表示组合跟踪误差，𝜌z表示标准化因子暴露z的一阶自相关系数，𝜇IC和σIC分别表示IC的均值和标准差，Ecs表示截面算数平均值，σri表示股票特质风险。

根据LS公式(3)更新一下组合换手的主要影响因素：

组合的目标跟踪误差σA越大
股票数目N越多
股票平均特质风险σr越小
因子暴露的一阶自相关系数𝜌z越小
因子IC波动性σIC越小

则组合的换手率越高。

下图展示自相关系数和因子波动性对组合换手的影响。随着自相关系数增大，组合换手率减小。特别地，随着IC波动率从0增大到0.25，组合换手率快速下降。实际上当N非常大时，1/N项可被忽略，则组合换手将与IC波动率成反比。

再对比一下是否考虑策略风险的换手率和杠杆率：

(3)

(4)

(5)

(6)

可以发现，LS公式中显式地包含了因子IC波动率，且IC波动率对组合换手率影响较大——IC波动率越大，即策略风险越大，组合换手率越低。LS公式直接地反映了不同因子对组合换手的影响，而QSH公式中因子对组合换手的影响仅仅体现在标准化因子暴露的一阶自相关性𝜌z上。当𝜇IC = σIC = 0时，LS与QSH的表达式一致。

那实测LS公式的改进效果如何呢？LS公式更贴近实际投资。

1. 对于常见量化因子，与QSH公式相比，LS公式得到的换手率和杠杆率都更低、更合理。以MOM因子为例，当股票数目N从1000增加到3000时，LS换手率边际增加较小，仅从33%增加至34%，但QSH换手率却增长了sqrt(3) = 173%倍，且由于未进行策略风险的惩罚，QSH杠杆率更是从421%提高至728%。

2. 仿真实验对比组合跟踪误差、换手率、杠杆率的理论值与实际已实现值，LS公式理论贴近实际，而QSH公式却相差甚远。QSH实际组合跟踪误差(50.7%)大于理论设置值(8%)，实际换手率(525.7%)也与QSH公式计算的理论值(268.2%)相差较大。特别地，由于未考虑策略风险，QSH组合过度加杠杆还可能导致爆仓。例如QSH组合单月收益出现过-112.1%的情况。

有点长，简单总结一下：

基于单因子模型，使用alpha预测的条件均值和条件协方差矩阵刻画因子风险，优化得到更贴合投资实际的多空最优组合的换手率。

组合的目标跟踪误差越大，股票数目越多，股票平均特质风险越小，因子暴露的一阶自相关系数越小，因子IC波动性越小（影响较大），则组合的换手率越高。

简单约束下，多头最优组合的换手率

多空最优组合的换手率解析式，可以泛化到简单约束下的多头最优组合上。多头组合的优化基本与上一节多空组合一致，额外多了多头约束

和100%杠杆率约束（即偏离权重之和=0）。包含不等式约束后，最优组合权重较难推得解析解，可以通过数值优化计算。

仿真实验结果显示式(3)的多空最优组合换手率，一定程度上也适用于简单多头最优组合。将845次仿真结果按照实际已实现换手率从低到高的顺序排列，横坐标为仿真次数，纵坐标为换手率。可以发现，使用式(3)会高估换手率，即换手率公式值（红色）会大于多头组合实际换手率（蓝色）。在约50%的情况下，高估误差可以忽略，但在剩余情况下，高估误差仍较大。

仿真结果还显示，目标跟踪误差、股票数目等参数对简单多头组合的影响方向与式(3)大部分一致。我们快速地过一下：

1. 相同：

1.1）组合跟踪误差越大，换手率越大。多头组合呈现非线性，即组合跟踪误差对多头组合换手率的影响可能存在上限。

1.2）当股票数目较大时，组合换手率正比于 (组合跟踪误差 / 因子IC波动率)。

2. 不同：

2.1）股票数目对组合换手率影响较小。随着股票数目N增加，组合换手率基本持平，目标跟踪误差TE的影响更大。

2.2）因子暴露的一阶自相关系数对组合换手率影响较小。

复杂约束下，多头最优组合的换手率

实际投资通常会为多头组合增加一些复杂约束，例如个股权重下限、组合持股数目、行业/板块/风格偏离上限等。本节关注 “跟踪误差+个股权重下限+组合持股数目”约束下多头最优组合的换手率。

仿真结果显示式(3)在复杂多头最优组合上苟不住了，误差较大并会明显低估换手率。将1000次仿真结果按照实际已实现换手率从低到高的顺序排列，横坐标为仿真次数，纵坐标为换手率。可以发现，式(3)换手率（红色）波动较大且会明显低估复杂多头组合实际换手率（蓝色）。

为了得到更贴近实际的复杂多头最优组合的换手率估计，文章吸收了转换系数TC (transfer coefficient)的思想，将复杂多头最优组合换手率与多空最优组合换手率联系起来，修正得到复杂多头最优组合换手率的经验公式。

转换系数TC可以理解为有约束和无约束条件下最优组合权重之间的相关系数

其中，wA表示无约束多空最优组合权重，wC表示复杂约束下多头最优组合权重。

结合仿真实验得到的复杂多头最优组合换手率的主要影响因素——组合目标跟踪误差与因子IC波动率的比值(σA / σIC)、基准权重集中度(c)，拟合得到修正复杂多头组合换手率的经验公式：

(7)

来理解一下LO修正公式(7)里各项及系数的意义

[+]（1-TC)TC ：对于所有TC均为正，在TC=0.5时取得最大值0.25，当TC从1减小到0.5时随之减小。很好理解，当TC从1下降至0.5时，为满足更加复杂的约束条件，多头组合相对多空组合的换手率提高。
[-] σA / σIC：组合目标跟踪误差越大，因子IC波动率越小，无约束多空组合的换手率越大，但约束条件限制了多头组合的解集空间，因此多头组合相对多空组合的换手率降低。
[-] c：基准组合权重集中度越高，多头组合换手率越低。

修正后的LO公式在简单多头组合（上一节，仅跟踪误差约束）和复杂多头组合（本节）上的仿真测试效果都不错，式(7)的计算值与多头组合实际已实现换手率较贴近。