加法原则 :
有
种 产生方式 , 事件
有
种 产生方式 , 则 " 事件
或
" 有
种产生方式 ;
分别有
种 产生方式 , 若 其中 任何 两个 事件 产生的方式 都 不重叠 , 则 " 事件
或
或 … 或
" 产生的方式 是
种 ;
必须是 不能重叠的 , 即 只有 一件 事件 发生 , 如果有多个 事件 同时发生 , 就必须 使用 乘法原则 ;
乘法原则 :
分别有
种 产生方式 , 若 其中 任何 两个 事件 产生的方式 都 相互独立 , 则 " 事件
或
或 … 或
" 产生的方式 是
种 ;
必须是 相互独立 的 ;
题目 :
汽车市场 有 卡车 15 辆 , 面包车 8 辆 , 轿车 20 辆 ; 从市场中只购买一辆车 , 有多少种购买方式 ?
解答 :
① 这里用到了 加法原则 , 如果只能 买 一辆车的话 , 三种车 只能买一种 , 三个事件 是不能重叠的 ;
② 买卡车 有 15 种方式 , 买面包车 有 8 种方式 , 买轿车 有 20 种 , 三种方式只能选择一种 , 三者不能重叠 ( 同时存在 ) , 因此使用加法原则 进行计算 ;
③ 结果是 : 15 + 8 + 20 = 43 ;
设
是 3 个城市 , 从
到
有 3 条路 , 从
到
有 2 条路 , 从
到
有
条路 , 问 从
到
有多少种不同的方式 ?
解 :
加法原则 : ① 直接从
到
与 ② 从
先到
再到
是 不能重叠的 , 方案 ① 与 方案 ② 需要 用家法原则 ,
乘法原则 : 方案 ② 内部需要使用 乘法原则 即
到
有 3 种 选择 ,
到
有 2 种选择 , 这两个选择是相互独立的 , 需要分步 选择 ,
种 ;
最终
;
题目 :
从
到
的 整数 中 :
① 含有5的数有多少个 ; ② 含有多少个 百位 和 十位数 均为 奇数 的 偶数 ; ③ 各位数 都不相同 的 奇数 有多少个;
解答 :
( 1 ) 含有 5 的数 的个数 :
① 设 数字 集合
② 直接求 含有
的数 , 比较麻烦 : 这里可以分成
位 含有
的数 , 此时又分成 个位 十位 百位 千位 四种情况 ,
位 或
位 含有
更加复杂 ;
③ 这里 可以 转换一下思路 , 求 不含 5 的个数 :
和
, 只能取值
种情况 ;
, 有
种 取值情况 ;
, 有
种 取值情况 ;
, 有
种 取值情况 ;
根据乘法原则 : 不含
的个数位为
含有 5 的个数为 :
;
( 2 ) 百位 和 十位数 均为 奇数 的 偶数 :
分析 四位 数 取值方案数 :
这
种情况 ;
, 也是
种方案 ;
, 有
种方案 ;
根据 乘法 原则 : 百位 和 十位 均为 奇数 的 偶数 有
个 ;
( 3 ) 各位数 都不相同 的 奇数 个数 :
逐位分析 :
种方案数
, 要求 是 奇数 , 因此 个位数 只有
中方案 , 只能从
中取值 ;
种方案
, 如果要求 与 个位数不同 , 那么有
种方案 ;
种方案数
, 千位 与 个位 各自 取了 一位数 , 那么只能下
种 方案数 ;
种方案数
, 千位 , 个位 与 百位 各自 取了 一位数 , 那么只能下
种 方案数 ;
根据乘法原则 :
到
的整数中 , 各个位数 都 不相同的 奇数 有
个 ;
每一位分析的先后顺序很有讲究 , 一般先分析 条件限制比较苛刻的 选择 , 在分析 比较宽松的选择 ; 关于一一对应 的说明 : 如果 性质
的 计数 比较困难 , 性质
的计数比较容易 , 性质
和 性质
存在一一对应 , 那么对性质
的计数 , 可以转化为 对 性质
的计数 ; 这里用到了 一一对应 , 如 上述 , 计数 含有
的整数个数 , 如果正面计数比较困难 , 可以反过来 计算 不含有
的整数个数 , 这样就比较好计数了 ,
到
一共有
个数 ,
与 含有
的整数个数 是一一对应的 ; 常用的一一对应 : ① 选取问题 ② 不定方程非负整数解问题 ③ 非降路径问题 ④ 正整数拆分问题 ⑤ 放球问题