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社区首页 >专栏 >【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 )

【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 )

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韩曙亮
发布于 2023-03-27 16:19:18
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发布于 2023-03-27 16:19:18
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文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

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一. 谓词逻辑相关概念

1. 个体词

个体 简介 :

  • 1.个体 来源 : 一阶谓词逻辑 中 , 将 原子命题 分成 主语 和 谓语 , 这里便有了 个体词 与 谓词 的 概念 ;
  • 2.个体 概念 : 将 独立存在的 客体 , 具体事物 , 抽象事物 ( 概念 ) 称为 个体 或 个体词 ;
  • 3.个体 变元 : 使用
a,b,c

表示个体变元 ;

  • 4.个体 常元 : 使用
x, y, z

表示个体常元 ;

  • 5.个体域 概念 : 个体 变元 的取值 称为 个体域 ;
  • 6.个体域 取值 : 个体域 可以 取值 有穷集合 或 无穷集合 ;
  • 7.全总个体域 : 宇宙间一切事物 组成的 个体域 称为 全总个体域 ;

命题是陈述句 , 其中陈述句由 主语 , 谓语 , 宾语 组成 , 主语宾语就是个体 , 谓语就是谓词 ;

谓词逻辑 由 个体 , 谓词 , 量词 组成 ;

2. 谓词

谓词 简介 :

  • 1.谓词概念 : 将表示 个体性质 或 彼此之间关系 的 词 称为 谓词 ;
  • 2.谓词表示 : 使用
F, G, H

表示谓词 常元 或 变元 ;

  • 3.个体性质谓词表示 :
F(x)

表示

x

具有 性质

F

, 如

F(x)

表示

x

是黑的 ;

  • 4.关系性质谓词表示示例 :
F(x, y)

表示

x, y

具有 关系 F , 如 :

F
G(x, y)

表示

x

大于

y

;

3. 量词

( 1 ) 全称量词

全称量词 : Any 中的 A 上下颠倒过来 ;

  • 1.语言对应 : 对应 自然语言 中 “任意” , “所有的” , “每一个” 等 ;
  • 2.表示方式 : 使用符号
\forall

表示 ;

  • 3.解读1 :
\forall x

表示个体域中 所有的

x

;

  • 4.解读2 :
\forall x( F(x) )

表示 , 个体域中所有的

x

都具有性质

F

;

( 2 ) 存在量词

存在量词 : Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ;

  • 1.语言对应 : 对应 自然语言 中 “有一个” , “存在着” , “有的” 等 ;
  • 2.表示方式 : 使用符号
\exist

表示 ;

  • 3.解读1 :
\exist x

表示个体域中 存在着的

x

;

  • 4.解读2 :
\exist x( F(x) )

表示 , 个体域中 存在

x

具有性质

F

;

二. 命题符号化 技巧

1. 两个基本公式 ( 重要 )

( 1 ) 有性质 F 的个体 都有性质 G

个体域中 所有 有性质

F

的 个体 , 都 具有 性质

G

;

使用谓词逻辑如下表示 :

①

F(x)

:

x

具有性质

F

; ②

G(x)

:

x

具有性质

G

; ③ 命题符号化为 :

\forall x ( F(x) \rightarrow G(x) )

( 2 ) 存在既有性质 F 又有性质 G 的个体

个体域 中 存在有性质

F

同时有性质

G

的个体 ;

使用谓词逻辑如下表示 :

①

F(x)

:

x

具有性质

F

; ②

G(x)

:

x

具有性质

G

; ③ 命题符号化为 :

\exist x ( F(x) \land G(x) )

2. 命题符号化技巧

( 1 ) 命题符号化方法

命题符号化方法 :

  • 1.写出个体域 : 先把 个体域 写明白 , 即 表明
\forall x

, 代表 所有的什么事物 , 如果是一切事物 , 那么必须注明是全总个体域 ;

  • 2.写出性质个关系 谓词 : 使用
F , G , H

表明 个体的 性质 或 关系 ;

  • 3.命题符号 : 将 命题符号化 结果 注明 , 最好带上详细的解释 ;

( 2 ) 解题技巧

由 全称量词 或 存在量词 个体词 谓词 组合成的 谓词逻辑 , 也可以当做 一个 谓词逻辑

F(x)

或

G(x, y)

部件 再次进行组合 ;

如下 谓词逻辑 :

\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))

其中

\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )

是已经组合过的 谓词逻辑 , 现在将其当做一个 性质 , 或者 谓词逻辑部件

A

, 再次组合成 更加 复杂 和 庞大的 谓词逻辑 , 得到如下 :

\forall x (F(x) \rightarrow A)

因此 , 上述 谓词逻辑 展开后 , 就得到了最开始的

\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))

( 3 ) 当且仅当 谓词逻辑方法

当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 : 当且仅当 谓词逻辑 符号化 : 1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ; 2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是 ① 对于所有的

x

与 存在的一个

y

有 某种性质或关系 , ② 对于所有的

x

和 所有的

z

存在某种性质或关系 ; ③

y

与

z

具有相等的属性 ; 3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 : ① 对于所有的

x

与 存在的一个

y

有 某种性质或关系 , ②

y

与 所有的

z

有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 , ③ 可以推出

x

和

z

有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;

3. 谓词公式定义

谓词公式定义 :

  • 1.原始谓词公式 :
n

元 谓词 是一个 谓词公式 ;

  • 2.否定式 : 如果
A

是谓词公式 , 那么

(\lnot A)

也是谓词公式 ;

  • 3.两个谓词公式 组合 : 如果
A, B

是谓词公式 , 那么

(A \land B) , (A \lor B), (A \rightarrow B), (A \leftrightarrow B)

四种联结词 组合成的符号, 也是谓词公式 ;

  • 4.谓词公式 与 量词 组合 : 如果
A

是谓词公式 , 且含有 个体变元

x

, 且

x

没有被量词限制 , 那么

\forall x A(x)

, 或

\exist x A(x)

也是谓词公式 ;

  • 5.有限次重复 : 有限次 对 谓词公式 使用 1. ~ 4. 方法进行处理 得到的 也是 谓词公式 ;

谓词公式拼装 : 1> 经过若干次 拼装 组合好 的谓词公式 , 或者 刚写出的 单个 谓词公式 , 可以 作为原始 谓词公式

S

; 2> 在 原始谓词公式

S

前 加上

\lnot

也是谓词公式 , 注意外部带上括号 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式

S

使用 ) 3> 使用 联结词 将 两个 原始谓词公式

S

连接起来 , 整个 组合 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式

S

使用 ) 4> 在 原始谓词公式

S

前 加上 量词约束

\forall x A(x)

, 或

\exist x A(x)

, 组合后 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式

S

使用 ) ( 注意 前提 : 加入量词约束的 个体词 不能被 已有量词约束 ) 4> 步骤 的 注意点 : ① 前提 : 该谓词中的个体 , 没有被量词约束 , 如果有 不能重复约束 ;

三. 命题符号化 习题

1. 简单量词 示例

( 1 ) 全称量词示例

题目 :

  • 1.要求 : 命题符号化 :
  • 2.命题内容 : 人都吃饭 ;

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

  • 1>
F(x)

:

x

是人 ;

  • 2>
G(x)

:

x

吃饭 ;

③ 命题符号化 :

\forall x (F(x) \rightarrow G(x))

( 2 ) 全称量词 示例 2

题目 :

  • 1.要求 : 命题符号化 :
  • 2.命题内容 : 某班级所有学生都学过微积分 ;

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

  • 1>
F(x)

:

x

是某班级的学生 ;

  • 2>
G(x)

:

x

学过微积分 ;

③ 命题符号化 :

\forall x (F(x) \rightarrow G(x))

( 3 ) 存在 量词 示例

题目 :

  • 1.要求 : 命题符号化 :
  • 2.命题内容 : 有人喜欢吃糖 ;

解答 :

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

  • 1>
F(x)

:

x

是人 ;

  • 2>
G(x)

:

x

喜欢吃糖 ;

③ 命题符号化 :

\exist x (F(x) \land G(x))

另外一种符号化方法 : 将糖也堪称一个个体 :

① 个体域 : 全总个体域

② 谓词 : 性质/关系 定义 :

F(x)

表示

x

是人

G(y)

表示

y

是糖

H(x, y)

表示

x

喜欢吃

y

③ 命题符号化 :

\exist x (F(x) \land G(x) \land H(x, y))

2. 量词位置不同 导致的符号化 结果不同

题目 :

  • 1.要求 : 命题符号化 :
  • 2.命题内容 : 男人都比女人跑得快 ;

1> 方式 一 :

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

  • 1>
F(x)

:

x

是男人 ;

  • 2>
G(y)

:

y

是女人 ;

  • 3>
H(x,y)

:

x

比

y

跑得快 ;

③ 命题符号化 :

\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))

该命题符号有等价形式 :

\forall x \forall y (F(x) \land G(y) \rightarrow H(x,y) ))

这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ; 符号化分析 : ① 将

\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )

独立分析 , 首先 整个 命题都处于

\forall x

作用域中 , 这里 有如下属性 , 所有的女人 , 所有的男人比女人跑的快 ; 将其看做一个独立的命题

A

; ② 下面分析

∀x(F(x)→ A)

, 对于所有的男人 来说 , 只要是男人 , 都有 命题

A

的性质 ;

2> 方式 二 :

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

  • 1>
F(x)

:

x

是男人 ;

  • 2>
G(x)

:

x

是女人 ;

  • 3>
H(x,y)

:

x

比

y

跑得快 ;

③ 命题符号化 :

\forall x \forall y (F(x) \land G(x) \rightarrow H(x,y))

这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ; 符号化分析 : 将

F(x) \land G(x)

看做一个整体

A

, 即

x

是男人 ,

y

是女人 , 针对所有的

x, y

有性质

A

, 那么

x, y

同时又有性质 或 关系

H(x,y)

;

3. 带 或者 的 命题符号化

( 1 ) 带 或者 的 命题符号化

题目 :

  • 1.要求 : 命题符号化 :
  • 2.命题内容 : 某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友;

解答 :

① 个体域 : 某班级的所有学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

  • 1>
F(x)

:

x

有一台电脑 ;

  • 2>
G(x, y)

:

x

和

y

是朋友 ;

③ 命题符号 :

\forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) )

解析 : 1> 个体域定义 : 个体域 定为 “某班级中的所有学生” ; 2> 最外层量词确定 : 其都具有性质 “某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友” , 因此 最外层必须是 全称量词

\forall x (A(x))

, 下面开始分析其中的

A(x)

; 3> 两个性质之间是 或者 的关系 : 两个性质使用

\lor

进行连接 , 分别是

B(x)

( “有一台电脑” ) 和

C(x)

( “有一个拥有电脑的朋友” ) , 当前符号 :

\forall x (B(x) \land C(x))

; 4> “有一台电脑” : 表示成

F(x)

; 当前符号 :

\forall x (F(x) \land C(x))

; 5> “有一个有电脑的朋友” ( 这个比较复杂 ) : ① 首先 要虚构 一个 学生

y

, 这个

y

代表那个有电脑的朋友 ; ② 再确定量词 : "有一个" 显然是存在量词

\exist y

( 如果用全称量词的话 , 那班级所有人都是他的朋友 ) ; ③ 对这个 虚构的

y

的要求是 ,

y

同时满足两个条件 , “a. 有电脑” “b.

x,y

是朋友” , 因此使用

\land

将其连接起来 , 最终表示成

F(y) \land G(x , y)

; ④ 本句的符号为 :

\exist y ( F(y) \land G(x , y) )

; 6> 最终符号为 :

\forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) )

;

( 2 ) 带 或者的 命题 示例 2

命题符号化 : 某班级中 每个 学生 或者 去过 北京 , 或者去过 上海

解答 :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 某班级全体学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

  • 1>
F(x)

:

x

去过北京;

  • 2>
G(x)

:

x

去过上海;

③ 命题符号 :

\forall x ( F(x) \lor G(x))

解析 : 1> 个体域 量词 分析 :

\forall x

指的是 某班级全体 学生 中的 每一个 , 所有的 学生 ; 2>

F(x) \lor G(x)

解读 : 表示

x

去过 北京 或者 去过 上海 ; 3>

\forall x ( F(x) \lor G(x))

解读 : 所有的学生 , 要么去过北京 , 要么去过上海 , 二者必选其一 , 且 只能选其一 ;

4. 复杂命题 示例

( 1 ) 复杂命题的符号化

题目 :

  • 1.要求 : 命题符号化 :
  • 2.命题内容 : 存在一个学生
x

, 对所有不同的两个学生

y

和

z

来说 , 如果

x

与

y

是好朋友 , 并且

x

和

z

也是好朋友 , 那么

y

和

z

不是好朋友;

题目分析 :

  • 1.个体域分析 : 命题中涉及到的个体都是 学生 , 那么 将 个体域 设置为 全体学生 ;
  • 2.性质和关系分析 :
    • ① “对所有不同的两个学生” : 涉及到了 两个不同的学生 , 因此需要 定义一个 谓词 , 表示 两个学生是 不同的 或 相同的 ;
    • ② "
    x

    与

    y

    是好朋友" : 涉及到 两个 学生 是 或者 不是 好朋友 , 因此 这里需要定义一个谓词 , 表示 两个学生 是 或者 不是 好朋友 ;

  • 3.主题框架分析 :
    • ① 量词约束 : " 存在一个学生
    x

    , 对所有不同的两个学生

    y

    和

    z

    来说 " 可以写出 最外围 的 量词约束 ,

    \exist x \forall y \forall z

    , 然后在对

    x, y , z

    之间的关系进行描述 ;

    • ② "如果
    x

    与

    y

    是好朋友 , 并且

    x

    和

    z

    也是好朋友 , 那么

    y

    和

    z

    不是好朋友; " : 这个命题 可以用 蕴涵 联结词 进行表示 ;

    • a> 命题
    A

    : "如果

    x

    与

    y

    是好朋友 , 并且

    x

    和

    z

    也是好朋友" ,

    • b> 命题
    B

    : "那么

    y

    和

    z

    不是好朋友" ;

    • c> 命题
    A,B

    的关系 :

    A \rightarrow B

    ;

解答 :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 全体学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

  • 1>
F(x, y)

:

x

和

y

是好朋友;

  • 2>
G(x, y)

:

x

和

y

是相同的 ;

③ 命题符号 :

\exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) )

解析 : 1> 量词分析 :

\exist x \forall y \forall z

对应了 题目中的 "存在一个学生

x

, 对所有不同的两个学生

y

和

z

来说" 2>

( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) )

分析 : 该句对应了 “不同的两个学生

y

和

z

来说 , 如果

x

与

y

是好朋友 , 并且

x

和

z

也是好朋友” 同时满足 这 三个条件 ; 3>

\lnot F(y, z)

分析 : 对应了结果 “那么

y

和

z

不是好朋友” ; 4> 同时满足 3 条件 然后退出结果 :

( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z)

; 5> 加上量词约束 得到最终结果 :

\exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) )

;

( 2 ) 个体域变化 情况 的 两种分析

题目 :

  • 1.要求 : 命题符号化 :
  • 2.命题内容 : 某班级中 有些学生去过 北京

解答 :

( 1 ) 方法 一 ( 个体域 为 某班级全体学生 ) :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 某班级全体学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

  • 1>
F(x)

:

x

去过北京;

③ 命题符号 :

\exist x ( F(x) )

解析 : 直接写出即可 , 有些学生 , 使用 存在量词

\exist x

表示 ,

\exist x( F(x) )

表示 有些学生去过 北京 ;

( 1 ) 方法 二 ( 个体域 为 全总个体域 ) :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 全总个体域

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

  • 1>
F(x)

:

x

去过北京;

  • 2>
G(x)

:

x

是某班级的学生;

③ 命题符号 :

\exist x ( F(x) \land G(x))

解析 :

\exist x ( F(x) \land G(x))

1> 个体域分析 : 个体域 为 全总个体域 , 那么

\exist x

就是 存在某个事物 , 这个事物属性是宇宙间的一些事物 ; 2>

F(x) \land G(x)

: 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ; 3> 完整解读 :

\exist x ( F(x) \land G(x))

, 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;

( 3 ) 当且仅当 转化问题

题目 :

  • 1.要求 : 命题符号化 :
  • 2.命题内容 : 每个人有且只有一个好朋友

解答 :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 所有的人

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

  • 1>
F(x , y)

:

x , y

是好朋友;

  • 2>
G(x, y)

:

x , y

相等;

③ 命题符号 一 :

\forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land \lnot G(y, z) ) \rightarrow \lnot F(x,z) )

解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 此处

x ,y

已经是好朋友了 , 如果出现一个

z

与

y

不相等 , 那么

x,z

一定不是好朋友 ; 量词分析 : 对于所有的

x

, 存在一个

y

是他的朋友 , 所有的

z

与

x

是好朋友 , 那么 这个

z

就是

y

;

④ 命题符号二 :

\forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow G(y,z) )

解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 如果

x,y

是好朋友 ,

x,z

是好朋友 , 那么

y,z

肯定相等 ; 量词分析 : 对于所有的

x

, 存在一个

y

是他的朋友 , 所有的

z

与

x

是好朋友 , 那么 这个

z

就是

y

;

当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 : 当且仅当 谓词逻辑 符号化 : 1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ; 2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是 ① 对于所有的

x

与 存在的一个

y

有 某种性质或关系 , ② 对于所有的

x

和 所有的

z

存在某种性质或关系 ; ③

y

与

z

具有相等的属性 ; 3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 : ① 对于所有的

x

与 存在的一个

y

有 某种性质或关系 , ②

y

与 所有的

z

有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 , ③ 可以推出

x

和

z

有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;

( 4 ) 使用 全称量词 和 存在量词 两种形式 进行命题符号化

题目 :

  • 1.要求 : 命题符号化 :
  • 2.命题内容 : 并非所有的动物都是猫

解答 :

命题符号化 结果 ( 全程量词 ) : 该方式 属于 正面解答 ;

① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

  • 1>
F(x)

:

x

是 动物;

  • 2>
G(x)

:

x

是 猫;

③ 命题符号 一 :

\lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) )

解析 : 命题是 “并非所有的动物都是猫” , 这里我们开始拆解命题 : 1> 提取否定 : 把并非提取出来 为

\lnot

, 否定的命题是 “并非所有的动物都是猫” ; 2> 写出 “并非所有的动物都是猫” 命题 : 即 凡是具有动物性质的事物 , 都具有 是 猫 的性质 , 这里符号化为

\forall x ( F(x) \rightarrow G(x) )

; 3> 最终结果 :

\lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) )

;

命题符号化 结果 ( 存在量词 ) : 该方式 属于 侧面回答 ;

转化命题 : 存在有的动物 不是猫 ;

① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

  • 1>
F(x)

:

x

是 动物;

  • 2>
G(x)

:

x

是 猫;

③ 命题符号 一 :

\exist x ( F(x) \land \lnot G(x) )

\exist x ( F(x) \land \lnot G(x) )

解析 : 存在某个事物 , 其满足是动物的性质 , 同时满足 其不是猫 的性质 ;

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原始发表：2019-07-15，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除
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  • 文章目录
  • 一. 谓词逻辑相关概念
    • 1. 个体词
      • 2. 谓词
        • 3. 量词
          • ( 1 ) 全称量词
          • ( 2 ) 存在量词
      • 二. 命题符号化 技巧
        • 1. 两个基本公式 ( 重要 )
          • ( 1 ) 有性质 F 的个体 都有性质 G
          • ( 2 ) 存在既有性质 F 又有性质 G 的个体
        • 2. 命题符号化技巧
          • ( 1 ) 命题符号化方法
          • ( 2 ) 解题技巧
          • ( 3 ) 当且仅当 谓词逻辑方法
        • 3. 谓词公式定义
        • 三. 命题符号化 习题
          • 1. 简单量词 示例
            • ( 1 ) 全称量词示例
            • ( 2 ) 全称量词 示例 2
            • ( 3 ) 存在 量词 示例
          • 2. 量词位置不同 导致的符号化 结果不同
            • 3. 带 或者 的 命题符号化
              • ( 1 ) 带 或者 的 命题符号化
              • ( 2 ) 带 或者的 命题 示例 2
            • 4. 复杂命题 示例
              • ( 1 ) 复杂命题的符号化
              • ( 2 ) 个体域变化 情况 的 两种分析
              • ( 3 ) 当且仅当 转化问题
              • ( 4 ) 使用 全称量词 和 存在量词 两种形式 进行命题符号化
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