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等价关系与划分对应问题
等价关系 与 划分 计算 :
上的等价关系 与
上的划分是 一一对应 的 ;
(
上有多少个 不同的 等价关系 , 就产生同样个数的不同的划分 )
个不同的球 , 放入
个相同的盒子中 , 并且不能出现空盒 ,
; 不同的放球方法对应不同的划分数 ;
个不同的球, 放入
个相同的盒子中 , 方案数记做
, 或
;
第二类斯特林数计算公式
第二类 Stirling 数计算方法 :
- 1.Stirling 数计算公式 :
- 2.Stirling 数递推公式 :
4元集等价关系计算
题目 : 等价关系
;
解答 :
分析 :
上有
个有序对 ;
上的 二元关系 个数 是
个 ;
到
个不等的有序对个数 , 分别统计 有
个有序对 ,
个有序对 ,
个有序对 ,
,
个有序对的 情况 ;
;
上有
个二元关系 , 逐个验证 等价关系 要求的 自反 , 对称 , 传递 性质 , 肯定行不通 , 计算量巨大 ;
的 等价关系个数 与 划分个数 是一一对应的 , 因此求其划分个数即可 ;
分步求解 :
① 使用 第二类 Stirling 求其不同的划分个数 :
② 根据公式 :
, 计算 Stirling 数的值 :
③ 根据公式 :
, 计算 Stirling 数的值 :
④ 根据公式1 :
( Stirling 数计算公式 ) , 根据公式2 :
, 计算 Stirling 数的值 :
⑤ 根据公式 :
, 计算 Stirling 数的值 :
⑥ 最终划分结果 :
上有 15 个划分 ;
6元集等价关系计算
题目 :
上的 二元关系 的 个数 和
上等价关系的个数 ;
解答 :
二元关系个数 :
中有
个元素 ,
;
;
等价关系个数 :
- 1> 一一对应 : 等价关系的个数 与 集合的划分数 是一一对应的 ,
- 2> 进行划分 : 将 集合
划分成
块 ,
块,
块,
块,
块,
块 ;
逐个求出
每个 Stirling 数的值 ;
① 根据公式 :
, 计算 Stirling 数的值 :
② 根据公式 :
, 计算 Stirling 数的值 :
③ 根据递推公式 :
, 计算 Stirling 数的值 :
拆分成下面两部 进行计算 :
( 1 ) 先计算
计算
:
计算
:
结果 :
( 2 ) 在计算
的结果 , 使用公式
进行计算 :
( 3 ) 最终结果 :
④ 根据递推公式 :
, 计算 Stirling 数的值 :
⑤ 根据公式 :
, 计算
:
⑥ 根据公式 :
, 计算
;
⑦ 将上面计算的
个斯特林数相加 , 得到的结果 :