【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )

一. 生成函数 ( 母函数 ) 的定义

1. 生成函数定义

( 1 ) 生成函数的定义

生成函数定义 :

1.假设条件 : 设

是一个数列 ;

2.形式幂级数 : 使用 该 数列 做 形式幂级数

3.生成函数 :称上述

是数列

的生成函数;

( 2 ) 形式幂级数 ( 参考 )

形式幂级数 :

1.幂级数 : 数学分析 中 重要概念 , 在 指数级的 每一项 均为 与 级数项 序号

相对应的 以 常数倍的

的

次方 (

是从 0开始计数的整数 , a为常数 ) ;

幂级数用途 : 其 被 作为 基础内容 应用到了 实变函数 , 复变函数 , 等众多领域 中 ;

2.形式幂级数 : 是 数学中 的 抽奖概念 , 从 幂级数 中 抽离出来 的 代数对象 ; 形式幂级数 和 从 多项式 中 剥离出的 多项式环 类似 , 但是 其 允许 无穷多项式 因子 相加 , 但不像 幂级数 一般 要求 研究 是否收敛 和 是否有确定的 取值 ;

① 假设条件 : 设 x是一个符号 ,

为实数 ;

② 未定元 形式幂级数 :

称为 x 的未定元 的 一个 形式幂级数 ;

3.研究重点 : 形式幂级数 中 , x 从来 不指定具体数值 , 不关心 收敛 或 发散 , 关注的重点是其 系数序列

, 研究形式幂级数 完全可以 归结为 讨论 这些系数序列 ;

2. 生成函数 示例

( 1 ) 生成函数 示例

示例题目 :设

为正整数,求数列

的生成函数

解 :

① 列出生成函数 :

② 列出其累加生成函数:

注意 :生成函数 从属于 一个数列,说明生成函数时 , 先说明其数列,指明 数列 的 生成函数 是 某个函数;

二. 常用 生成函数 ( 重要 )

1. 与常数相关的生成函数

2. 与 二项式系数 相关的生成函数

3. 与 组合数 相关的生成函数