【计算机网络】物理层 : 香农定理 ( 噪声 | 信噪比 | 香农定理 | “香农定理“公式 | “香农定理“ 计算示例 | “奈氏准则“ 与 “香农定理“ 对比与计算示例)★

韩曙亮

发布于 2023-03-28 16:41:09

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发布于 2023-03-28 16:41:09

文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

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一、奈氏定理与香农定理

“奈氏定理” 规定的是码元极限传输速率 , 没有规定比特极限传输速率 , “香农定理” 就是规定该 “比特极限传输速率” 的 ;

“香农定理” 还考虑到了信号传输过程中的噪声干扰情况 ;

二、噪声

"噪声" 简介 :

① “噪声” 存在位置 : 存在于所有电子设备和通信信道中 ;

② “噪声” 影响 : 由于噪声是随机产生的 , 其瞬时值可能很大 , 从而导致接收端对接收的码元产生错误的解析 ;

③ “噪声” 相对影响 : 噪声对码元信号的影响是相对的 , 如果信号较强 , 那么噪声影响会比较小 ;

三、信噪比

"信噪比" 概念 : 信号平均功率与噪声平均功率比值 ;

① 比值形式 :

\cfrac{信号平均功率}{噪声平均功率}

, 记作 S/N , 该信噪比没有单位 , 是一个纯数值 ;

② 分贝形式 : 单位是分贝 ( dB ) , 计算公式如下 :

信噪比 ( dB ) = 10 \ log_{10}(\cfrac{S}{N})

这里注意信噪比的两种表示方式 :

S/N

是纯数值 , 没有单位 ;

10 \ log_{10}(\cfrac{S}{N})

单位是分贝 ;

上述两种形式的信噪比是等价的 , 代表同一个含义 , 分贝单位的信噪比只是看起来数字比较好看 ;

信噪比越大 , 噪声大于码元的影响就越小 ;

四、香农定理

香农定理 : 在带宽受限 , 有噪声的信道中 , 为了不产生误差 , 信息的数据传输速率有上限值 ;

① 前提条件 : 带宽受限 , 有噪声 ; 注意与奈氏准则的条件参照理解 , 奈氏定理的条件是带宽受限 , 没有噪声 ;

② 误差原因 : 奈氏准则是由于码间串扰产生失真 , 香农定理是由于噪声产生误差 ;

③ 限制内容 : 奈氏准则设定码元极限传输速率 , 香农定理设定数据极限传输速率 ;

五、香农定理公式

香农定理公式 :

信道极限数据传输速率 = W log_2( 1 + S/N )

单位是比特/秒 ( b/s )

带宽 , 单位是赫兹 ( Hz ) ;

S/N

是信噪比

是信道内信号的平均功率

是信道内的高斯噪声功率 ;

信噪比计算 :

数值信噪比 : 如果给出的信噪比是数值 , 没有单位可以直接代入 , 代替上述

S/N

;

分贝信噪比 : 如果给出的信噪比是 dB 值 , 那么需要根据

信噪比 ( dB ) = 10 \ log_{10}(\cfrac{S}{N})

公式 , 计算出

S/N

的值 ;

六、香农定理推论

带宽信噪比与数据极限传输速率 : 信道带宽或信噪比越大 , 数据极限传输速率越高 ;

知道带宽和信噪比 , 就可以求出数据极限传输速率 ;

只要信息传输速率低于信道的数据极限传输速率 , 一定能找到某种方法实现无差错传输 ;

香农定理计算出的是数据极限传输速率 , 信道的实际传输速率比该值要低 ;

如果带宽和信噪比

S/N

没有上限 , 信道的极限传输速率也没有上限 ; ( 仅做参考 , 实际上无法实现 )

七、 “香农定理” 计算示例

信道带宽

3000 Hz

, 信噪比

30 dB

, 根据香农定理计算数据极限传输速率

计算

S/N

先根据

信噪比 ( dB ) = 10 \ log_{10}( S/N)

公式计算出

S/N

值 ;

信噪比 ( dB ) = 10 \ log_{10}( S/N) = 30

信噪比 ( dB ) = log_{10}( S/N) = 3

S/N = 10^{3} = 1000

信道极限传输速率计算 :

信道极限数据传输速率 = W log_2( 1 + S/N )

信道极限数据传输速率 = 3000 \ log_2( 1 + 1000 ) \approx 30000 b/s = 30kb/s

八、 “香农定理” 与 “奈氏准则” 对比

"奈氏准则" 核心是针对内部问题 :

① 使用环境 : 带宽受限 , 没有外部的噪声干扰 ;

② 针对问题 : 为了避免码间串扰 , 将码元的传输速率上限设置成 2W 波特 ( Baud ) ;

理想状态下信道的极限传输速率 =

2W log_2V

比特 / 秒

提高数据传输速率 :

提高带宽
采用更好的编码技术 , 使单个码元携带更多信息量 ;

"香农定理" 核心是针对外部问题 :

① 使用环境 : 带宽受限 , 外部有噪声干扰 ;

② 针对问题 : 在外部干扰下 , 为信息传输速率设置上限 ;

非理想状态下信道的极限传输速率 =

W log_2( 1 + S/N )

比特 / 秒 ;

提高数据传输速率 :

提高带宽
提高信噪比

九、“奈氏准则” 与 “香农定理” 计算示例

计算信息极限传输速率 :

如果给了码元信息个数 , 就用奈氏准则计算 ;
如果给了信噪比 , 就用香农定理公式计算 ;
如果码元信息量和信噪比都给出来 , 那么计算两个数据传输速率 , 取最小值 ;

二进制信号 , 在信噪比

127:1

的

4000Hz

的信道上传输 , 求最大数据率

上述给出了码元信息量 , 二进制码元 , 因此可以使用奈氏准则求数据极限传输速率 :

2W log_2V = 2 \times 4000 \times log_2 2 = 8000 \ b/s

上述还给出了信噪比

127:1

, 这是一个数值 , 没有单位 , 因此该值是

S/N

, 可以直接在香农定理中使用 ; 计算过程如下 :

W log_2( 1 + S/N ) = 4000 \times log_2 ( 1 + 127 / 1 ) = 4000 \times 7 = 28000 \ b/s

上述计算的两个极限传输速率取最小值 , 即

8000b/s

;

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原始发表：2020-08-14，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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