【集合论】集合概念与关系 ( 真子集 | 空集 | 全集 | 幂集 | 集合元素个数 | 求幂集步骤 )

文章目录

• 一、 真子集
• 二、 空集
• 三、 全集
• 四、 幂集
• 五、 集合元素个数
• 六、 求幂集步骤

一、 真子集

真子集 :

描述 :

两个集合 , 如果

集合 是

集合的子集 , 并且

, 则称

是

的真子集 ,

真包含

;

记作 :

符号化表示 :

非真子集 :

描述 :

集合 不是

集合的真子集 ;

记作 :

符号化表示 :

( 存在元素

是集合

的元素 , 不是集合

的元素 , 并且

不相等 , 则

不是

的真子集 )

真包含关系 性质 :

反自反性 :

反对称性 : 如果

, 那么

传递性 : 如果

, 并且

, 那么

二、 空集

空集描述 : 没有任何元素的集合 , 称为空集合 , 简称为 空集 ;

记作 :

空集示例 :

是实数集合 , 上述

明显无解 , 集合也为空集 ;

空集定理 : 空集是一切集合的子集 ;

空集推论 : 空集是唯一的 ;

三、 全集

全集 : 限定所讨论的集合 , 都是某个集合的子集 , 则称该集合为全集 , 记作

;

全集不唯一 : 全集只是相对于讨论问题的范畴 , 不唯一 , 不能讨论范畴之外的情况 ;

全集示例 : 讨论 [0, 1] 区间上的实数性质 , 取全集为 [0, 1] 上的所有实数 ;

( 讨论其它区间的数 , 也可以取其它的区间作为全集 )

四、 幂集

幂集描述 :

是一个集合 ,

集合的全体子集组成的集合 称为

的幂集 ;

记作 :

符号化表述 :

五、 集合元素个数

集合元素个数 :

元集 :

元集 : 含有

个元素的集合 , 又称为 单元集 ;

元集 : 含有

个元素的集合 ;

元集 : 含有

个元素的集合 ; (

)

有穷集 :

表示集合

中的元素个数 , 如果

集合中的元素个数是 有限数 时 , 那么称该

集合为有穷集 , 或 有限集 ;

幂集个数定理 : 集合

中的 元素个数

, 则

的 幂集个数

;

六、 求幂集步骤

求幂集步骤 : 求 集合

的幂集 , 需要按照顺序求

集合中 由低到高元的所有子集 , 再将这些子集组成集合 ;

低到高元的所有子集 :

元集 ,

元集 ,

元集 ,

,

元集 ;

集合

元集 :

元集 :

,

,

元集 :

,

,

元集 :

集合

的幂集是 :