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一、 并集
并集 :
A, B 是两个集合 , 由
A 和
B 所有的元素组成的集合 , 称为
A 与
B 的并集 ;
记做 :
A \cup B ,
\cup 称为 并运算符 ;
符号化表示 :
A \cup B = \{ x | x \in A \lor x \in B \}初级并 : 两个集合的并运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级并 ;
A_1 , A_2 , \cdots , A_n 是
n 个集合 , 则
A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{ x | \exist i ( 1 \leq i \leq n \ \lor \ x \in A_i ) \} , 记作
\bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_nA_1 , A_2 , \cdots , A_n , \cdots 是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :
\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots二、 并集示例
集合
A = \{ x \in N | 5 \leq x \leq 10 \} , 集合
B = \{ x \in N | x \leq 10 \lor x 是素数 \}A \cup B = \{ 2, 3, 5 ,6,7,8,9,10 \}三、 交集
交集 :
A, B 是两个集合 ,
A 和
B 公共元素组成的集合 , 称为
A , B 集合的交集 ;
记作 :
A \cap B ,
\cap 称为 交运算符 ;
符号化表示 :
A \cap B = \{ x | x \in A \land x \in B \}初级交 : 两个集合的交运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级交 ;
A_1 , A_2 , \cdots , A_n 是
n 个集合 , 则
A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{ x | \forall i ( 1 \leq i \leq n \ \to \ x \in A_i ) \} , 记作
\bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_nA_1 , A_2 , \cdots , A_n , \cdots 是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :
\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots四、 交集示例
集合
A = \{ x \in N | 5 \leq x \leq 10 \} , 集合
B = \{ x \in N | x \leq 10 \land x 是素数 \}A \cap B = \{ 5, 7 \}五、 不相交
不相交 :
A , B 两个集合 , 如果
A \cap B = \varnothing , 则称
A 和
B 两个集合是 不相交 的 ;
扩展到多个集合 :
A_1 , A_2 , \cdots 是可数个集合 , 任意
i \not= j ,
A_i \cap A_j = \varnothing 都成立 , 则称
A_1 , A_2 , \cdots 是互不相交的 ;
六、 相对补集
相对补集 :
A , B 两个集合 , 属于
A 集合 而 不属于
B 集合 的 全体元素组成的集合 , 称为
B 对
A 的相对补集 ;
记作 :
A - B符号化表示 :
A-B = \{ x | x \in A \land x \not\in B \}七、 对称差
对称差 :
A , B 是两个集合 , 属于
A 集合 而 不属于
B 集合 , 属于
B 集合 而 不属于
A 集合 , 的 全体元素 , 组成的集合称为
A 与
B 的对称差 ;
记作 :
A \oplus B符号化表示 :
A \oplus B = \{ x | ( x \in A \land x \not\in B ) \lor ( x \not\in A \land x \in B ) \}对称差 与 相对补集 关系 :
A \oplus B = ( A - B ) \cup ( B - A ) = ( A \cup B ) - ( A \cap B )( A - B ) \cup ( B - A ) :
A 对
B 的相对补集 , 与
B 对
A 的相对补集 的 并集 ;
( A \cup B ) - ( A \cap B ) :
A, B 的并集 对
A,B 交集的相对补集 ;
八、 绝对补集
绝对补集 :
E 是全集 ,
A \subseteq E , 全集
E 包含
A 集合 , 称
A 对
E 的相对补集 为
A 的绝对补集 ;
记作 :
\sim A符号化表示 :
\sim A = \{ x | x \in E \land x \not\in A \}其中
E 是全集 ,
x \in E 为永真式 , 根据 命题逻辑 等值演算 的 同一律 ,
1 合取 任何值 , 真值还是 任何值 本身 ;
因此 , 可以 去掉 合取联结词 前面的
x \in E , 结果为 :
\sim A = \{ x | x \not\in A \}九、 广义并集
广义并集 :
\mathscr{A} 是一个 集族 , 集族
\mathscr{A} 中的全体 集合元素 的 元素组成的集合 , 称为 集族
\mathscr{A} 的广义并 ;
记作 :
\cup \mathscr{A}符号化表示 :
\cup \mathscr{A} = \{ x | \exist z ( x \in z \land z \in \mathscr{A} ) \}广义并集示例 :
\mathscr{A} = \{ \{a, b\} , \{a, c\} , \{a, b, c\} \}\cup \mathscr{A} = \{ a, b, c \}十、 广义交集
广义交集 :
\mathscr{A} 是一个 集族 , 集族
\mathscr{A} 中的全体 集合元素 的 公共元素组成的集合 , 称为 集族
\mathscr{A} 的广义交 ;
记作 :
\cap \mathscr{A}符号化表示 :
\cap \mathscr{A} = \{ x | \forall z ( z \in \mathscr{A} \to x \in z ) \}广义并集示例 :
\mathscr{A} = \{ \{a, b\} , \{a, c\} , \{a, b, c\} \}\cap \mathscr{A} = \{ a \}十一、 集合运算优先级
第一类运算 ( 单目运算符 ) : 绝对补 , 幂集 , 广义交 , 广义并 ; 运算按照从左到右顺序运算 ;
第二类运算 ( 双目运算符 ) : 初级并 , 初级交 , 相对补 , 对称差 ; 按照括号结合顺序进行运算 , 没有括号按照从左右到顺序进行运算 ;
