【集合论】容斥原理 ( 复杂示例 )

容斥原理 示例

个人

说英语 , 日语 , 德语 , 法语 的人数

同时说 英语 日语 人数

同时说 英语 德语 人数

同时说 英语 法语 人数

同时说 法语 德语 人数

说日语的人 不会 法语 德语 ;

求 只会说一种语言的人 ? 同时会说 英语 德语 法语 的人 ?

在这里插入图片描述

单个语言集合 :

集合表示会说英语的人的集合 ,

;

集合表示会说日语的人的集合 ,

;

集合表示会说德语的人的集合 ,

;

集合表示会说法语的人的集合 ,

;

两两相交集合 :

集合表示会说 英语 日语 的人的集合 ,

;

集合表示会说 英语 德语 的人的集合 ,

;

集合表示会说 英语 法语 的人的集合 ,

;

集合表示会说 德语 法语 的人的集合 ,

;

会说日语的人 , 既不不会说法语 , 也不会说德语 , 说明集合

与集合

都不相交 ;

总的人数是

人 :

根据容斥原理 :

先将单个集合的个数相加

减去两两相交的元素个数

加上三三相交的元素个数

减去 四个集合相交的元素个数

将上面的集合元素个数全部代入 :

先将单个集合的个数相加

减去两两相交的元素个数

加上三三相交的元素个数

减去 四个集合相交的元素个数

计算后得到 :

同时会说英法德语的人

只有

个 ;

计算只会说英语的人 :

使用容斥原理 , 计算

只会说英语的人有

个 ;

按照上述步骤 , 计算出 其它 只说日语的人

个 , 只说 德语 的人 3 个 , 只说法语的人

个 ;