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一、 集合恒等式
1. 幂等律 :
A \cup A = A ,
A \cap A = A2. 交换律 :
A \cup B = B \cup A ,
A \cap B = B \cap A3. 结合律 :
(A \cup B) \cup C = A \cup ( B \cup C ) ,
(A \cap B) \cap C = A \cap ( B \cap C )4. 分配率 :
A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) ,
A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C )5. 德摩根律 :
① 绝对形式 :
\sim ( A \cup B ) = \sim A \cap \sim B ,
\sim ( A \cap B ) = \sim A \cup \sim B② 相对形式 :
A - (B \cup C) = ( A - B ) \cap (A - C) ,
A - (B \cap C) = ( A - B ) \cup (A - C)6. 吸收率 :
A \cup ( A \cap B ) = A ,
A \cap (A \cup B) = A7. 零律 :
A \cup E = E ,
A \cap \varnothing = \varnothing8. 同一律 :
A \cup \varnothing = A ,
A \cap E = A( 空集是并运算的单位元 , 全集是交运算的单位元 )
9. 排中律 :
A \cup \sim A = E10. 矛盾律 :
A \cap \sim A = \varnothing11. 余补律 :
\sim \varnothing = E ,
\sim E= \varnothing12. 双重否定定律 :
\sim ( \sim A ) = A13. 补交转换律 :
A - B = A \cap \sim B( 集合的差运算是不必要的 , 集合的交运算和补运算可以替代差运算 )
二、 集合恒等式推广到集族
\{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} 为集族 ,
S 是指标集 ,
\alpha 是指标集中的元素 , 对于
S 集合中的
\alpha 元素 , 都有一个集合
A_\alpha 与之对应 ; 所有的
A_\alpha 集合放在一起 , 形成一个集族 ;
B 是任意的一个集合 ;
1 . 分配律
分配律 ① :
B \cup ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( B \cup A_\alpha )集族中每个集合元素求交 , 然后与
B 进行并运算 ; 等价于 集族中每个元素与
B 求并 , 然后在求上述每个并运算结果的交 ;
分配律 ② :
B \cap ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( B \cap A_\alpha )集族中每个集合元素求并 , 然后与
B 进行交运算 ; 等价于 集族中每个元素与
B 求交 , 然后在求上述每个并运算结果的并 ;
2 . 德摩根律
德摩根律 ( 绝对形式 ) ① :
\sim ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( \sim A_\alpha )集族的广义并 , 然后求补 ; 等于 集族中的每个集合 , 先求补 , 然后再求广义交 ;
德摩根律 ( 绝对形式 ) ② :
\sim ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( \sim A_\alpha )集族的广义交 , 然后求补 ; 等于 集族中的每个集合 , 先求补 , 然后再求广义并 ;
德摩根律 ( 相对形式 ) ③ :
B - ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( B - A_\alpha )B 集合减去 集族的广义并 ( 集族广义并 相对于 集合
B 的补集 ) ; 等于
B 集合减去集族中的每个集合 , 先求相对补集 , 然后再求广义交 ;
德摩根律 ( 相对形式 ) ④ :
B - ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( B - A_\alpha )B 集合减去 集族的广义交 ( 集族广义交 相对于 集合
B 的补集 ) ; 等于
B 集合减去集族中的每个集合 , 先求相对补集 , 然后再求广义并 ;
