【集合论】卡氏积 ( 卡氏积概念 | 卡氏积示例 | 卡氏积性质 | 非交换性 | 非结合性 | 分配律 | 有序对为空 | n 维卡氏积 | n 维卡氏积个数 | n维卡氏积性质 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 17:59:57

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一、卡氏积

卡氏积 :

A , B

是两个集合 , 由

集合中的元素作为第一个元素 , 由

集合中的元素作为第二个元素 , 符合上述条件的有序对组成的集合 , 称为集合

与

的卡氏积 ;

记作 :

A \times B

符号化表示 :

A \times B = \{ <x, y> | x \in A \land y \in B \}

集合

与集合

的卡氏积是一个新的集合 , 这个新集合是一个有序对集合 ;

二、卡氏积示例

集合

A = \{ \varnothing , a \}

, 集合

B = \{ 1, 2, 3 \}

A \times B = \{ <\varnothing , 1> , <\varnothing , 2>, <\varnothing , 3>, <a, 1> , <a, 2> , <a , 3> \}

每个有序对第一个元素来自

集合 , 第二个元素来自

集合 ;

B \times A = \{ <1, \varnothing > , <2, \varnothing >, <3 , \varnothing >, <1, a> , <2, a> , <3, a> \}

每个有序对第一个元素来自

集合 , 第二个元素来自

集合 ;

A \times A = \{< \varnothing, \varnothing> , <\varnothing, a> , <a, \varnothing> , <a, a> \}

每个有序对第一个元素来自

集合 , 第二个元素来自

集合 ;

B \times B = \{ <1, 1> , <1, 2> , <1, 3> , <2, 1> , <2, 2> , <2,3> , <3,1> , <3,2> , <3,3> \}

每个有序对第一个元素来自

集合 , 第二个元素来自

集合 ;

三、卡氏积性质

1. 非交换性

A \times B \not= B \times A

有三种特殊情况 , 交换性成立

①

A = B

②

A = \varnothing

③

B = \varnothing

2. 非结合性

( A \times B ) \times C \not= A \times ( B \times C)

有三种特殊情况 , 结合性成立

①

A = \varnothing

②

B = \varnothing

③

C = \varnothing

3. 分配率

A \times ( B \cup C ) = (A \times B) \cup (A \times C)

4. 有序对为空的情况

A \times B = \varnothing \Leftrightarrow A = \varnothing \lor B= \varnothing

四、 n 维卡氏积

n 维卡氏积 :

A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{ <x_1 , x_2, \cdots , x_n> | x_1 \in A_1 \land x_2 \in A_2 \land \cdots \land x_n \in A_n \}

个集合的卡氏积 ,

维卡氏积结果 , 每个有序对有

个元素 , 每个元素都分别按照指定顺序来自这

个集合 ;

A^n = \begin{matrix} \underbrace{ A \times A \times \cdots \times A } \\ n 个\end{matrix}

这是

个集合

的

维卡氏积 ;

五、 n 维卡氏积个数

维卡氏积个数 :

|A_i| = n_i \ , \ i = 1, 2, \cdots , n

\Rightarrow

| A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n | = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_n

|A_i| = n_i

i = 1, 2, \cdots , n

: 表示第

个集合

A_i

的元素个数是

n_i

;

| A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n |

: 表示

个集合的卡氏积结果集合个数 ;

n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_n

个集合的卡氏积结果 ;

六、 n 维卡氏积性质

n 维卡氏积性质 : 与

维卡氏积性质类似

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原始发表：2020-10-01，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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