【集合论】二元关系 ( 二元关系记法 | A 到 B 的二元关系 | 二元关系个数 | 二元关系示例 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 18:00:38

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一、二元关系

n

元关系 :

元素都是有序

n

元组的集合 ;

n

元关系示例 :

3 元关系 :

F_1 = \{ <1, 2, 3> , <a, b, c> , <数学 , 物理 , 化学> \}

F_1

是

3

元关系 , 其每个元素都是有序

3

元组 ;

4 元关系 :

F_2 = \{ <1, 2, 3, 4> , <a, b, c, d> , <语文 , 数学 , 物理 , 化学> \}

F_2

是

4

元关系 , 其每个元素都是有序

4

元组 ;

上述有序

n

元组 , 个数相同 , 元素性质可以不同 ;

二、二元关系记法

如果

F

是二元关系 (

F

是有序

2

元组集合 )

则有 :

<x, y> \in F

\Leftrightarrow

x 与 y 有 F 关系

\Leftrightarrow

xFy

二元关系记法 :

① 中缀记法 ( infix ) :

xFy

② 前缀记法 ( prefix ) :

F(x, y)

, 或

Fxy

③ 后缀记法 ( suffix ) :

<x,y> \in F

, 或

xyF

如 :

2 < 5

,

2

小于

5

;

① 中缀记法 ( infix ) :

2 < 5

② 前缀记法 ( prefix ) :

<(2, 5)

③ 后缀记法 ( suffix ) :

<2,5> \in <

三、 A 到 B 的二元关系

A

到

B

的二元关系概念 :

A \times B

的任意子集是

A

到

B

的二元关系

\Leftrightarrow

R \subseteq A \times B

\Leftrightarrow

R \in P(A \times B)

A

到

B

的二元关系其中可能有

1

个集合 ,

2

个集合 ,

\cdots

,

n

个集合 ;

四、 A 到 B 的二元关系个数

A

到

B

的二元关系个数 :

|A| = m

,

|B| = n

A

集合元素个数

m

个 ,

B

集合元素个数

n

个 ;

有序对个数 :

|A \times B| = mn

二元关系个数 :

|P(A \times B) = 2^{mn}|

, 即上述

mn

个有序对总集合的幂集个数 ;

A

到

B

的二元关系个数 =

A \times B

幂集个数 =

2^{mn}

个

五、 A 到 B 的二元关系举例

A = \{a_1, a_2\}

,

B = \{ b \}

A

集合与

B

集合的卡氏积是 :

A \times B = \{ \varnothing, \{ <a_1 , b> \} , \{ <a_2 , b> \} \}

分析 : 其中有

3

个有序对 , 其二元关系个数有

2^{2 \times 1} = 4

个 , 即上述有序对集合的幂集 , 分别是有

0

个有序对的个数

0

个 ,

1

个有序对的个数

2

个 ,

2

个有序对个数

1

个 ;

A

集合到

B

集合的二元关系 : 有

4

个 ;

R_1 = \varnothing

,

a_1

与

b

没有关系 ,

a_2

与

b

没有关系 ;

R_2 = \{ <a_1 , b> \}

,

a_1

与

b

有关系 ,

a_2

与

b

没有关系 ;

R_3 = \{ <a_2 , b> \}

,

a_1

与

b

有关系 ,

a_2

与

b

没有关系 ;

R_4 = \{ <a_1 , b> , <a_2, b> \}

,

a_2

与

b

有关系 ,

a_1

与

b

有关系 ;

B

集合与

A

集合的卡氏积是 :

A \times B = \{ \varnothing, \{ <b, a_1 > \} , \{ <b, a_2 > \} \}

分析 : 其中有

3

个有序对 , 其二元关系个数有

2^{2 \times 1} = 4

个 , 即上述有序对集合的幂集 , 分别是有

0

个有序对的个数

0

个 ,

1

个有序对的个数

2

个 ,

2

个有序对个数

1

个 ;

B

集合到

A

集合的二元关系 : 有

4

个 ;

R_5 = \varnothing

,

b

与

a_1

没有关系 ,

b

与

a_2

没有关系 ;

R_6 = \{ <b, a_1 > \}

,

b

与

a_1

有关系 ,

b

与

a_2

没有关系 ;

R_7 = \{ <b, a_2> \}

,

b

与

a_1

没有关系 ,

b

与

a_2

有关系 ;

R_8 = \{ <b, a_1 > , <b, a_2> \}

,

b

与

a_1

有关系 ,

b

与

a_2

有关系 ;

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原始发表：2020-10-02，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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