【集合论】二元关系 ( A 上二元关系 | A 上二元关系示例 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 18:00:50

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一、 A 上二元关系

A

上二元关系 :

是

A \times A

卡氏积的任意子集

R

是

A

上的二元关系

\Leftrightarrow

R \subseteq A \times A

\Leftrightarrow

R \in P(A \times A)

二、 A 上二元关系个数

集合

A

的元素个数是

|A| = m

A \times A

卡氏积集合中有序对元素个数是

|A \times A| = m^2

个 ;

A \times A

卡氏积幂集个数是

|P(A \times A)| = 2^{m^2}

A

上的二元关系个数有

2^{m^2}

个 ;

如果

A

集合中有

1

个元素 ,

A

上的二元关系有

2^{1^2} = 2

个 ;

如果

A

集合中有

2

个元素 ,

A

上的二元关系有

2^{2^2} = 16

个 ;

如果

A

集合中有

3

个元素 ,

A

上的二元关系有

2^{3^2} = 512

个 ;

三、 A 上二元关系示例 ( 集合中有两个元素 )

B = \{ b \}

集合

B

的元素个数是

|B| = 1

B \times B

卡氏积集合中有序对元素个数是

|B \times B| = 1^2 = 1

个 ;

B \times B

卡氏积幂集个数是

|P(B \times B)| = 2^{1^2} = 2

A

上的二元关系个数有

2^{1^2} = 2

个 ;

0

个有序对的二元关系 :

R_1 = \varnothing

1

个有序对的二元关系 :

R_2 = \{ b , b \}

四、 A 上二元关系示例 ( 集合中有两个元素 )

集合

A = \{ a_1 , a_2 \}

则

A

上的二元关系有

16

个 ;

A \times A

卡氏积集合中有序对个数有

4

个 ;

A \times A

卡氏积集合幂集个数有

2^4 = 16

;

0

个有序对的二元关系 :

1

个

R_1 = \varnothing

1

个有序对的二元关系 :

4

个

R_2 = \{ a_1 , a_1 \}

R_3 = \{ a_1 , a_2 \}

R_4 = \{ a_2 , a_1 \}

R_5 = \{ a_2 , a_2 \}

2

个有序对的二元关系 :

6

个

R_6 = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_1 , a_2 \} \}

R_7 = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_2 , a_1 \} \}

R_8 = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_2 , a_2 \} \}

R_9= \{ \{ a_1 , a_2 \} , \{ a_2 , a_1 \} \}

R_{10}= \{ \{ a_1 , a_2 \} , \{ a_2 , a_2 \} \}

R_{11}= \{ \{ a_2 , a_1 \} , \{ a_2 , a_2 \} \}

3

个有序对的二元关系 :

4

个

R_{12} = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_1 , a_2 \} , \{ a_2 , a_1 \} \}

R_{13} = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_1 , a_2 \} , \{ a_2 , a_2 \}\}

R_{14} = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_2 , a_1 \} , \{ a_2 , a_2 \}\}

R_{15} = \{ \{ a_1 , a_2 \} , \{ a_2 , a_1 \} , \{ a_2 , a_2 \}\}

4

个有序对的二元关系 :

1

个

R_{16} = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_1 , a_2 \} , \{ a_2 , a_1 \} , \{ a_2 , a_2 \}\}

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原始发表：2020-10-02，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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