【集合论】二元关系 ( 特殊关系类型 | 空关系 | 恒等关系 | 全域关系 | 整除关系 | 大小关系 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 18:01:03

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一、特殊关系

特殊二元关系 :

空关系
恒等关系
全域关系
整除关系
小于等于关系
包含关系
真包含关系

二、集合上的特殊关系

集合

是任意集合 , 集合

中可以定义以下关系 :

空关系 :

\varnothing

, 空关系中没有关系 ;

恒等关系 :

I_A = \{ <x, x> | x \in A \}

全域关系 :

E_A = A \times A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \}

, 任何两个元素之间都有关系 ;

上述三种关系是最基本的关系 , 任意集合都能定义上述三种关系 ;

全域关系 是最大的关系 , 其中包含所有可能的有序对 ;

空关系 是最小的关系 , 其中没有任何有序对 ;

恒等关系 有特殊意义 , 关系运算中不起到任何作用 ;

三、整除关系

A \subseteq Z

集合是整数集的子集 , 定义

集合上的整除关系 :

D_A = \{ <x, y> | x \in A \land y \in A \land x|y \}

其中的

x|y

中的

符号是整除的意思 ,

整除

;

整除

是除数 (分母) ,

是被除数 (分子) ;

\dfrac{y}{x}

能被

整除 ,

是除数 (分母) ,

是被除数 (分子) ;

\dfrac{y}{x}

整除关系示例 :

A = \{ 1, 2, 3, 4 \}

D_A = \{ <1, 1> , <1, 2> , <1, 3> , <1, 4> , <2, 2> , <2, 4> , <3, 3> , <4,4> \}

四、大小关系

A \subseteq R

, 集合

是实数集子集 , 在集合

上有以下二元关系 :

大于关系 ( Great Than ) :

G_A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \land x > y \}

大于等于关系 ( Great Than Or Equal To ) :

GE_A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \land x \geq y \}

小于关系 ( Less Than ) :

L_A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \land x < y \}

小于等于关系 ( Less Than Or Equal To ) :

LE_A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \land x \leq y \}

如果

集合是有限集 , 则

上的关系是有限个 ;

如果

集合是无限集 , 则

上的关系是无限个 ;

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原始发表：2020-10-02，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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