【集合论】关系性质 ( 常见的关系的性质 | 关系性质示例 | 关系运算性质 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 18:04:10

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一、常见的关系的性质

在自然数集

N=\{ 0, 1,2, \cdots \}

上 , 如下关系的性质 :

1. 小于等于关系：

小于等于关系 :

符号化描述 :

\leq = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \land x \leq y \}

关系性质 : 自反 , 反对称 , 传递

2. 大于等于关系：

大于等于关系 :

符号化描述 :

\geq = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \land x \geq y \}

关系性质 : 自反 , 反对称 , 传递

3. 小于关系：

小于关系 :

符号化描述 :

< = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \land x < y \}

关系性质 : 反自反 , 反对称 , 传递

4. 大于关系：

大于关系 :

符号化描述 :

> = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \land x > y \}

关系性质 : 反自反 , 反对称 , 传递

5. 整除关系 :

整除关系 :

符号化描述 :

| = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \land x | y \}

关系性质 : 反对称 , 传递

x|y

中的

|

符号是整除的意思 ,

x

整除

y

;

x

整除

y

,

x

是除数 (分子) ,

y

是被除数 (分母) ;

\dfrac{y}{x}

y

能被

x

整除 ,

x

是除数 (分子) ,

y

是被除数 (分母) ;

\dfrac{y}{x}

整除关系中 , 一定要注意 , 只能非

0

整除

0

,

0

不能整除非

0

, 即

0

只能作被除数 , 不能作除数 ;

6. 恒等关系 :

恒等关系 :

符号化描述 :

I_N = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \land x = y \}

关系性质 : 自反 , 对称 , 反对称 , 传递

7. 全域关系 :

全域关系 :

符号化描述 :

E_N = \{ <x, y> | x \in N \land y \in N \} = N \times N

关系性质 : 自反 , 对称 , 传递

自反 , 反对称的关系 , 称为偏序关系 ;

二、关系的性质示例

关系图关系判定 :

① 自反 : 关系图中所有顶点都有环 ;
② 反自反 : 关系图中所有顶点都没有环 ;
③ 对称 : 两个顶点之间有

0

个或

2

个有向边 ;

④ 反对称 : 两个顶点之间有

0

个或

1

个有向边 ;

⑤ 传递 : 前提

a \to b , b\to c

不成立默认传递 , 前提

a \to b , b\to c

成立必须满足

a \to c

存在 ;

1.

R_1 = \{ <a, a> , <a, b> , <b , c> , <a,c> \}

:

绘制上述关系的关系图 : 反对称 , 传递

自反/反自反 : 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 自反和反自反都不成立 ;

对称/反对称 : 顶点之间都是

1

条有向边 , 顶点之间只有

0/1

条边 , 是反对称的 ;

传递 :

a\to b, b \to c

成立 ,

a \to c

存在 , 传递性成立 ;

2.

R_2 = \{ <a, a> , <a, b> , <b , c> , <c,a> \}

:

绘制上述关系的关系图 : 反对称

自反/反自反 : 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 自反和反自反都不成立 ;

对称/反对称 : 顶点之间都是

1

条有向边 , 顶点之间只有

0/1

条边 , 是反对称的 ;

传递 :

a\to b, b \to c

成立 ,

a \to c

不存在 , 传递性不成立 ;

3.

R_3 = \{ <a, a> , <b, b> , <a,b> , <b,a> , <c,c> \}

:

绘制上述关系的关系图 : 自反 , 对称 , 传递

自反/反自反 : 所有顶点都有环 , 自反性成立 ;

对称/反对称 : 顶点之间都是

0

或

2

条有向边 , 顶点之间只有

0/2

条边 , 是对称的 ;

传递 : 传递性成立 ;

前提

a \to b , b\to a

, 对应存在

a \to a

前提

b \to a , a\to b

, 对应存在

b \to b

4.

R_4 = \{ <a, a> , <a,b> , <b,a> , <c,c> \}

:

绘制上述关系的关系图 : 对称

自反/反自反 : 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 自反和反自反都不成立 ;

对称/反对称 : 顶点之间都是

0

或

2

条有向边 , 顶点之间只有

0/2

条边 , 是对称的 ;

传递 : 传递性不成立 ;

前提

a \to b , b\to a

, 对应存在

a \to a

前提

b \to a , a\to b

, 不存在对应的

b \to b

, 这里传递性不成立 ;

5.

R_5 = \{ <a, a> , <a,b> , <b,b> , <c,c> \}

:

绘制上述关系的关系图 : 自反 , 反对称 , 传递

自反/反自反 : 所有顶点都有环 , 自反性成立 ;

对称/反对称 : 顶点之间都是

0

或

1

条有向边 , 顶点之间只有

0/1

条边 , 是反对称的 ;

传递 : 前提不成立 , 传递性成立 ;

6.

R_6 = \{ <a, a> , <b,a> , <b,c> , <a,a> \}

:

绘制上述关系的关系图 : 没有任何关系

自反/反自反 : 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 自反和反自反都不成立 ;

对称/反对称 : 顶点之间都是

1

或

2

条有向边 , 顶点之间只有

0/1

条边是反对称 , 顶点之间只有

0/2

条边是对称 , 上述对称/反对称都不成立 ;

传递 : 前提

a \to b , b \to c

, 不存在对应的

a \to c

, 这里传递性不成立 ;

三、关系运算性质

讨论问题 : 指定性质的关系之间进行运算 , 其结果的性质 ; 如自反的两个关系进行逆序合成运算 , 结果扔是自反的 ;

下图中表格的含义是 : 如第二列 “自反” 与第三列 “

R_1 \cup R_2

” , 交叉的表格位置 , 代表关系

R_1

与关系

R_2

是自反的 , 其有序对交集是否是自反的 , 如果是

1

, 说明是自反的 , 如果没有值 , 说明不是自反的 ;

	自反	反自反	对称	反对称	传递
R 1 − 1 , R 2 − 1 R_1^{-1}, R_2^{-1} R1−1,R2−1	1 1 1	1 1 1	1 1 1	1 1 1	1 1 1
R 1 ∪ R 2 − 1 R_1 \cup R_2^{-1} R1∪R2−1	1 1 1	1 1 1	1 1 1
R 1 ∩ R 2 R_1 \cap R_2 R1∩R2	1 1 1	1 1 1	1 1 1	1 1 1	1 1 1
R 1 ∘ R 2 , R 2 ∘ R 1 R_1 \circ R_2 , R_2 \circ R_1 R1∘R2,R2∘R1	1 1 1
R 1 − R 2 , R 2 − R 1 R_1 - R_2 , R_2 - R_1 R1−R2,R2−R1		1 1 1	1 1 1	1 1 1
∼ R 1 , ∼ R 2 \sim R_1, \sim R_2 ∼R1,∼R2			1 1 1

R_1^{-1}, R_2^{-1}

1

R_1 \cup R_2^{-1}

1

R_1 \cap R_2

1

R_1 \circ R_2 , R_2 \circ R_1

1

R_1 - R_2 , R_2 - R_1

1

\sim R_1, \sim R_2

1

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原始发表：2020-10-07，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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