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一、等价类
R 关系 是
A 集合 上的二元关系 ,
A 集合不为空集 ,
A \not= \varnothing ,
对于
A 集合中的 任意
x 元素 ,
\forall x \in A ,
x 关于
R 关系的等价类 是
[x]_R = \{ y | y \in A \land xRy \} ;
x 关于
R 关系的等价类 , 简称为
x 的等价类 , 记作
[x] ;
[x]_R 表示
x 关于
R 关系下的等价类 ;
该等价类是由所有 与
x 具有
R 关系的
y 组成的集合 ;
如果只有一个等价关系 , 上述的
_R 下标可以省略 ,
[x]_R 可以简写成
[x]二、等价类示例
集合
A = \{1,2,3,4,5,8\}R 关系 是 集合
A 上的 模
3 同于关系
符号化表示为 :
R = {<x, y> | x, y \in A \land x \equiv y\pmod{3} }\equiv 符号的含义是 恒等于
1 在
R 关系上的等价类是
\{ 1, 4 \}2 在
R 关系上的等价类是
\{ 2, 5, 8 \}3 在
R 关系上的等价类是
\{ 3 \}上述
3 个等价类 , 等价类内部存在全域关系 , 等价类之间没有任何关系 ;
三、等价类性质
R 关系 是
A 集合 上的等价关系 ,
A 集合不为空集 ,
A \not= \varnothing , 对于任意
A 集合中的元素
x,y ,
\forall x,y \in A , 有以下性质 :
① 每个元素所在的等价类非空 ;
[x]_R \not= \varnothing② 两个元素如果存在关系 , 那么它们的等价类相等 ;
xRy \Rightarrow [x]_R = [y]_R③ 两个元素如果不存在关系 , 那么它们的等价类肯定不相交 ;
\lnot xRy \Rightarrow [x]_R \cap [y]_R = \varnothing④ 所有的等价类的并集 , 就是原来的集合
A ;
\bigcup \{ [x]_R | x \in A \} = A四、商集
R 关系 是
A 集合 上的等价关系 ,
A 集合不为空集
A 集合 关于
R 关系 的商集 是
A/R = \{ [x]_R | x \in A \}简称 :
A 的商集
商集的本质 : 商集 本质是一个 集合 , 集合中的元素是 等价类 , 该等价类是基于
R 关系的 ;
五、商集示例 1
集合
A = \{1,2,3,4,5,8\}R 关系 是 集合
A 上的 模
3 同于关系
符号化表示为 :
R = {<x, y> | x, y \in A \land x \equiv y\pmod{3} }\equiv 符号的含义是 恒等于
1 在
R 关系上的等价类是
\{ 1, 4 \}2 在
R 关系上的等价类是
\{ 2, 5, 8 \}3 在
R 关系上的等价类是
\{ 3 \}商集定义 :
A/R = \{ [x]_R | x \in A \}A 集合关于
R 关系的商集是 :
A/R = \{ \{ 1, 4 \} , \{ 2, 5, 8 \} , \{ 3 \} \}六、商集示例 2
集合
A = \{ a_1 , a_2 , \cdots , a_n \} 上的等价关系有 :
I_A 恒等关系 ,
E_A 全域关系 ;
1. 恒等关系
I_A : 集合中的每个元素都是一个等价类 ; 分类 粒度最细 ;
A 集合关于 恒等关系
I_A 的商集 :
A/I_A = \{ \{ a_1 \} , \{ a_2 \} , \cdots , \{ a_n \} \}2. 全域关系
E_A : 集合中的 所有元素是一个等价类 ; 所有元素放在一起 , 每个元素彼此之间都有关系 ; 该分类 粒度最粗 ;
A 集合关于 全域关系
E_A 的商集 :
A/E_A = \{ \{ a_1 ,a_2 , \cdots , a_n \} \}3.
R_{ij} 关系 : 恒等关系 与
<a_i , a_j> , <a_j , a_i> 的并集 ; 该关系是 自反 , 对称 , 传递的 , 是等价关系 ;
R_{ij} 关系描述 :
R_{ij} = I_A \cup \{ <a_i , a_j> , <a_j , a_i> \}A 集合关于 全域关系
R_{ij} 的商集 :
a_i, a_j 分在一个等价类中
\{ a_i , a_j \} , 对应
\{ <a_i , a_j> , <a_j , a_i> \}a_i, a_j 之外的的其它元素单独分成一类 , 对应
I_A ,
\{a_1\} , \cdots , \{a_{i - 1}\}, \{a_{i + 1}\}, \cdots , \{a_{j - 1}\} , \{a_{j + 1}\}, \cdots , a_n \}A/R_{ij} = \{ \{ a_i , a_j \} , \{a_1\} , \cdots , \{a_{i - 1}\}, \{a_{i + 1}\}, \cdots , \{a_{j - 1}\} , \{a_{j + 1}\}, \cdots , a_n \} , \}4. 空关系
\varnothing 不是集合
A 上的等价关系 , 空关系不是自反的 ;
七、商集示例 3
集合
A = \{ a , b , c \} 上的全体等价关系 : 共有 五种等价关系 , 只有 三个元素 , 在恒等关系基础上 , 考虑两两元素 之间 2 个方向的 有序对组成 的关系 ;
①
R_1 = I_A 恒等关系 : 对应的商集为 :
A/I_A = \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} \}②
R_2 = E_A 全域关系 : 对应的商集为 :
A/E_A = \{ \{ a , b , c \} \}③
R_3 = I_A \cup \{ <b,c>, <c,b> \} 关系 : 对应的商集为 :
A/R_3 = \{ \{ a \} , \{ b , c \} \}④
R_4 = I_A \cup \{ <a,c>, <c,a> \} 关系 : 对应的商集为 :
A/R_4= \{ \{ b \} , \{ a , c \} \}⑤
R_5 = I_A \cup \{ <a,b>, <b,a> \} 关系 : 对应的商集为 :
A/R_5 = \{ \{ c \} , \{ a , b \} \}
