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一、划分
划分 :
非空集合
A ,
A \not= \varnothing ,
A 集合的一个 划分 是 集族
\mathscr{A} ,
该 集族
\mathscr{A} 包含于
A 集合的幂集 ,
\mathscr{A} \subseteq P(A) , 集族中的元素都属于
A 集合的幂集 ;
集族
\mathscr{A} 中的元素是 集合 , 称为 划分块 ( Block ) , 集合中的元素都是
A 集合中的元素 ;
该集族
\mathscr{A} 有以下性质 :
①
\mathscr{A} 集族中每个元素都非空
\varnothing \not\in \mathscr{A}②
\mathscr{A} 集族中任意两个元素 ( 划分块 / 集合 ) 是不相交的
\forall x,y ( x,y \in \mathscr{A} \land x \not= y \Rightarrow x \cap y = \varnothing )③
\mathscr{A} 集族中所有的元素 ( 划分块 / 集合 ) 的并集是
A 集合
\bigcup \mathscr{A} = A商集就是一个划分 , 该集族中的元素是等价类集合 ;
商集参考 : 【集合论】等价类 ( 等价类概念 | 等价类示例 | 等价类性质 | 商集 | 商集示例 ) 四、商集
二、划分示例
全集是
E ,
取
E 的
n 个 非平凡 的 真子集 , 非平凡的含义是既不是空集 , 也不是它自己 ;
\varnothing \not= A_1 , A_2, \cdots, A_n \subset E1. 划分 1 基于
1 个元素
集族
\mathscr{A}_i = \{ A_i , \sim A_i \} ,
i = 1, 2, \cdots , n ,
\mathscr{A}_i 集族中包含
A_i 集合及其补集
\sim A_i , 该集族
\mathscr{A}_i 满足上述划分的三个性质 , 是一个划分 ;
2. 划分 2基于
2 个元素
集族
\mathscr{A}_i = \{ A_i \cap A_j , \sim A_i \cap A_j , A_i \cap \sim A_j , \sim A_i \cap \sim A_j\} - \{ \varnothing \} ,
i,j = 1, 2, \cdots , n \land i \not= j根据如下文氏图进行理解 :
A_i \cap A_j 对应区域 ①
\sim A_i \cap A_j 对应区域 ③
A_i \cap \sim A_j 对应区域 ②
\sim A_i \cap \sim A_j 对应区域 ④
A_i 与
A_j 不相交 , 那么区域 ① 就是空集 , 划分类不能是空集 , 此时就需要减去空集 , 对应
-\{ \varnothing \}3. 划分 3 基于
3 个元素
集族
\mathscr{A}_{ijk} = \{ A_i \cap A_j \cap A_k , A_i \cap \sim A_j \cap \sim A_k , \sim A_i \cap A_j \cap \sim A_k , \sim A_i \cap \sim A_j \cap A_k , \sim A_i \cap \sim A_j \cap \sim A_k\} - \{ \varnothing \}4. 划分 4 基于
n 个元素
集族
\begin{array}{lcl} \mathscr{A}_{1,2,\cdots,n} = \{ \\\\ A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_n , \\\\ A_1\cap \sim A_2 \cap \cdots \cap \sim A_n , \\\\ \sim A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap \sim A_n , \\\\ \vdots \\\\ \sim A_1\cap \sim A_2 \cap \cdots \cap \sim A_n \\\\ \} - \{ \varnothing \} \end{array}规则 :
A_1 到
A_n 的并集 ,
n 个
\sim A_1 到
\sim A_n 的并集 , 其中每个并集中 , 只有一个不是补集 ,
\sim A_1 到
\sim A_n 的并集 ;
三、划分与等价关系定理
划分与等价关系定理 :
前提 : 集合
A 非空 ,
A \not= \varnothingR 关系是
A 集合上的等价关系 , 可以推导出 ,
A 集合关于
R 关系的商集
A/R 是
A 的划分 ;
R 是 A 上等价关系 \Rightarrow A/R 是 A 的划分集族
\mathscr{A} 是
A 集合上的划分 , 定义一个 二元关系 是 同块关系
R_{\mathscr{A}} ,
该 同块关系 是
A 集合上的 等价关系 ,
该 同块关系 是 由划分
\mathscr{A} 定义的关系 ;
xR_{\mathscr{A}}y \Leftrightarrow \exist z ( z \in \mathscr{A} \land x \in z \land y \in z )
