【集合论】序关系 ( 全序关系 | 全序集 | 全序关系示例 | 拟序关系 | 拟序关系定理 | 三歧性 | 拟线序关系 | 拟线序集 )

文章目录

• 一、全序关系 ( 线序关系 )
• 二、全序关系示例
• 三、拟序关系
• 四、拟序关系定理 1
• 四、拟序关系定理 2
• 五、三歧性、拟线序

一、全序关系 ( 线序关系 )

集合与该集合之上的 偏序关系

组成的有序对是 :

偏序集 ;

集合中 任意元素

都 可比 ;

则称

关系是

集合上的 全序关系, 又称为 线序关系 ;

称

为全序集 ( 线序集 ) ;

偏序集 是全序集

当且仅当

偏序集的哈斯图是一条直线

二、全序关系示例

非空集合

包含于 实数集

,

,

集合上的 大于等于

, 小于等于

都是

集合上的 全序关系 ,

,

是 全序集 ;

哈斯图是一条直线 ;

在这里插入图片描述

三、拟序关系

非空集合

, 二元关系

是

集合上的二元关系 ;

符号化表示 :

,

;

如果 二元关系

是 反自反 , 传递 的 ,

则称

关系是

集合上的拟序关系 ,

使用

表示拟序关系 ,

称

是拟序集 ;

偏序关系

是 小于等于 关系 , 拟序关系

就是 严格小于 关系 ;

拟序关系示例 : 大于 , 小于 , 真包含 , 都是拟序关系 ;

拟序关系 完整的性质是 反自反 , 反对称 , 传递 , 之所以概念中没有提 反对称 性质 , 是因为 根据 反自反 , 传递性质 , 可以推导出 反对称 性质 ;

数学中倾向于使用最小的条件进行定义 , 因此这里将反对称性去掉 ;

四、拟序关系定理 1

非空集合

,

,

是非空集合

上的偏序关系 ,

是非空集合

上的拟序关系 ;

① 偏序关系性质 :

是 自反 , 反对称 , 传递的

② 拟序关系性质 :

是 反自反 , 反对称 , 传递的

③ 偏序关系 -> 拟序关系 : 偏序关系 减去 恒等关系 就是 拟序关系 ,

④ 拟序关系 -> 偏序关系 : 拟序关系 与 恒等关系 的并集就是 偏序关系 ,

;

四、拟序关系定理 2

非空集合

,

,

是非空集合

上的拟序关系 ;

①

,

,

中最多有一个成立 ;

使用反证法 , 任意两个成立都会导致

;

②

五、三歧性、拟线序

非空集合

,

,

是非空集合

上的拟序关系 ;

如果

,

,

中仅有一个城里 , 那么称

拟序关系 具有 三歧性 ;

有三歧性的 逆序关系

称为

集合上的 拟线序关系 , 又称为拟全序关系 ;

被称为 拟线序集 ;