【集合论】序关系 ( 偏序关系中八种特殊元素 | ① 最大元 | ② 最小元 | ③ 极大元 | ④ 极小元 | ⑤ 上界 | ⑥ 下界 | ⑦ 最小上界上确界 | ⑧ 最小下界下确界 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 18:09:30

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发布于 2023-03-28 18:09:30

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一、最大元

<A, \preccurlyeq>

是偏序集 ,

B \subseteq A

,

y \in B

,

B

中的所有元素与

y

都是可比的 ,

B

中的任意元素

x

, 都满足

x

小于等于

y

符号化表示 :

\forall x ( x \in B \to x \preccurlyeq y )

称

y

是

B

集合的最大元 ;

二、最小元

<A, \preccurlyeq>

是偏序集 ,

B \subseteq A

,

y \in B

,

B

中的所有元素与

y

都是可比的 ,

B

中的任意元素

x

, 都满足

y

小于等于

x

符号化表示 :

\forall x ( x \in B \to y \preccurlyeq x )

称

y

是

B

集合的最小元 ;

三、最大元、最小元示例

集合

A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}

,

集合

A

上的整除关系 “

|

” 是偏序关系 ,

偏序集是

<A, |>

x

整除

y

,

x

是除数 (分母) ,

y

是被除数 (分子) ;

\dfrac{y}{x}

y

能被

x

整除 ,

x

是除数 (分母) ,

y

是被除数 (分子) ;

\dfrac{y}{x}

绘制上述偏序集的哈斯图 :

B_1 = \{ 1,2,3 \}

B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}

B_3 = A

求上述集合的最大元 , 最小元 ?

B_1 = \{ 1,2,3 \}

最大元 :

2, 3

互相不可比 , 没有最大元 ;

最小元 :

1

与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 ,

1

是最小元 ;

B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}

最大元 :

15

与其它元素都是可比的 , 都大于等于其它元素 ,

15

是最大元 ;

最小元 :

3, 5

互相不可比 , 没有最小元 ;

B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}

最大元 :

9,4,6,15,10

互相不可比 , 没有最大元 ;

最小元 :

1

与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 ,

1

是最小元 ;

四、极大元

<A, \preccurlyeq>

是偏序集 ,

B \subseteq A

,

y \in B

,

在

B

中没有比

y

更大的元素 ,

符号化表示 :

\forall x ( x \in B \land y \preccurlyeq x \to x = y )

称

y

是

B

集合的极大元 ;

五、极小元

<A, \preccurlyeq>

是偏序集 ,

B \subseteq A

,

y \in B

,

在

B

中没有比

y

更小的元素 ,

符号化表示 :

\forall x ( x \in B \land x \preccurlyeq y \to x = y )

称

y

是

B

集合的极小元 ;

六、极大元、极小元示例

集合

A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}

,

集合

A

上的整除关系 “

|

” 是偏序关系 ,

偏序集是

<A, |>

x

整除

y

,

x

是除数 (分母) ,

y

是被除数 (分子) ;

\dfrac{y}{x}

y

能被

x

整除 ,

x

是除数 (分母) ,

y

是被除数 (分子) ;

\dfrac{y}{x}

绘制上述偏序集的哈斯图 :

B_1 = \{ 1,2,3 \}

B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}

B_3 = A

求上述集合的极大元 , 极小元 ?

B_1 = \{ 1,2,3 \}

极大元 :

2, 3

互相不可比 , 没有比

2,3

更大的元素 ,

2,3

是极大元 ;

极小元 :

1

与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 , 没有比

1

更小的元素 ,

1

是极小元 ;

B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}

极大元 :

15

与其它元素都是可比的 , 都大于等于其它元素 , 没有比

15

更大的元素 ,

15

是极大元 ;

最小元 :

3, 5

互相不可比 , 没有比

3,5

更小的元素 ,

3,5

是极小元 ;

B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}

极大元 :

9,4,6,15,10

互相不可比 , 没有比

9,4,6,15,10

更大的元素 ,

9,4,6,15,10

是极大元 ;

极小元 :

1

与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 , 没有比

1

更小的元素 ,

1

是极小元 ;

七、上界

<A, \preccurlyeq>

是偏序集 ,

B \subseteq A

,

y \in A

y

比

B

中所有的元素都要大

符号化表示 :

\forall x ( x \in B \to x \preccurlyeq y )

称

y

是

B

集合的上界 ;

八、下界

<A, \preccurlyeq>

是偏序集 ,

B \subseteq A

,

y \in A

y

比

B

中所有的元素都要小

符号化表示 :

\forall x ( x \in B \to y \preccurlyeq x )

称

y

是

B

集合的下界 ;

九、上界、下界示例

集合

A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}

,

集合

A

上的整除关系 “

|

” 是偏序关系 ,

偏序集是

<A, |>

x

整除

y

,

x

是除数 (分母) ,

y

是被除数 (分子) ;

\dfrac{y}{x}

y

能被

x

整除 ,

x

是除数 (分母) ,

y

是被除数 (分子) ;

\dfrac{y}{x}

绘制上述偏序集的哈斯图 :

B_1 = \{ 1,2,3 \}

B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}

B_3 = A

求上述集合的上界 , 下界 ?

B_1 = \{ 1,2,3 \}

上界 :

6

与

1, 2, 3

可比 ,

6

比

B_1

中所有元素都大 ,

6

是上界 ;

下界 :

1

与

1, 2, 3

可比 ,

1

比

B_1

中所有元素都小 ,

1

是下界 ;

B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}

上界 :

15

与

3 , 5, 15

可比 ,

15

比

B_2

中所有元素都大 ,

15

是上界 ;

下界 :

1

与

3 , 5, 15

可比 ,

1

比

B_2

中所有元素都小 ,

1

是下界 ;

B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}

上界 : 不存在元素与

B_3

中的元素都可比 ; 不存在上界 ;

下界 :

1

与

B_3

中的元素可比 ,

1

比

B_3

中所有元素都小 ,

1

是下界 ;

十、上确界 ( 最小上界 )

<A, \preccurlyeq>

是偏序集 ,

B \subseteq A

,

y \in A

上界中最小的元素就是最小上界, 又称为上确界

十一、下确界 ( 最大下界 )

<A, \preccurlyeq>

是偏序集 ,

B \subseteq A

,

y \in A

下界中最大的元素就是最大下界, 又称为下确界

十二、上确界、下确界示例

集合

A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}

,

集合

A

上的整除关系 “

|

” 是偏序关系 ,

偏序集是

<A, |>

x

整除

y

,

x

是除数 (分母) ,

y

是被除数 (分子) ;

\dfrac{y}{x}

y

能被

x

整除 ,

x

是除数 (分母) ,

y

是被除数 (分子) ;

\dfrac{y}{x}

绘制上述偏序集的哈斯图 :

B_1 = \{ 1,2,3 \}

B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}

B_3 = A

求上述集合的上确界( 最小上界 ) , 下确界 ( 最大下界 ) ?

B_1 = \{ 1,2,3 \}

上确界 :

6

与

1, 2, 3

可比 ,

6

比

B_1

中所有元素都大 ,

6

是上界 ;

6

也是上确界 , 最小上界 ;

下确界 :

1

与

1, 2, 3

可比 ,

1

比

B_1

中所有元素都小 ,

1

是下界 ;

1

也是下确界 , 最大下界 ;

B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}

上确界 :

15

与

3 , 5, 15

可比 ,

15

比

B_2

中所有元素都大 ,

15

是上界 ;

15

也是上确界 , 最小上界 ;

下确界 :

1

与

3 , 5, 15

可比 ,

1

比

B_2

中所有元素都小 ,

1

是下界 ;

1

也是下确界 , 最大下界 ;

B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}

上确界 : 不存在元素与

B_3

中的元素都可比 ; 不存在上界 ; 不存在上确界 / 最小上界 ;

下确界 :

1

与

B_3

中的元素可比 ,

1

比

B_3

中所有元素都小 ,

1

是下界 ;

1

也是下确界 , 最大下界 ;

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原始发表：2020-10-14，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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