【组合数学】组合数学简介 ( 组合思想 2 : 数学归纳法 | 数学归纳法推广 | 多重归纳思想 )

文章目录

• 一、组合思想 2 : 数学归纳法
• 二、数学归纳法推广
• 三、多重归纳思想

一、组合思想 2 : 数学归纳法

数学归纳法 描述 一个与自然数相关的命题

,

根据不同的问题 , 设定

最小的值 , 一般情况下从

开始 ,

1. 证明时分为以下两个步骤 :

( 1 ) 归纳基础 : 先证明 归纳基础 , 如证明

为真 ;

( 2 ) 归纳步骤 : 根据 数学归纳法的种类 , 进行不同方式的证明 , 这里有 第一数学归纳法 和 第二数学归纳法 两种归纳法 ;

2. 数学归纳法 :

( 1 ) 第一数学归纳法 : 从

推导

为真

假设

为真 , 证明

也为真

( 2 ) 第二数学归纳法 : 所有小于

的

都为真 , 推导

为真 ;

为真

假设所有小于

的自然数

, 命题

都为真 , 即

都为真 , 推导

为真 ;

符号化表示为 :

二、数学归纳法推广

数学归纳法可以推广 , 组合中可能遇到出现 两个自然数的问题 , 因此 对应的命题是两个自然数

, 之前的命题都是一个自然数

;

1. 证明两个自然数的命题

针对该

两个自然数 ,

任意给定其中一个自然数

, 即

可以是任意大小的自然数 , 对

归纳 ;

或

任意给定其中一个自然数

, 即

可以是任意大小的自然数 , 对

归纳 ;

任意先指定一个自然数的值 , 对另一个自然数进行归纳 ;

一个自然数的归纳 , 就采用传统的数学归纳法进行归纳证明 ;

2. 多重归纳 :

( 1 ) 归纳基础 : 设置

其中某个自然数为

, 另一个自然数是任意大小 ;

是归纳基础 ,

,

是任意大小 ;

是归纳基础 ,

,

是任意大小 ;

先证明上述归纳基础为真 ;

( 2 ) 归纳步骤 :

假设

,

为真 , 证明

为真 ;

三、多重归纳思想

平面坐标系 :

在这里插入图片描述

如果

时参数为真 , 即

轴上的 点代表的 参数都为真 ;

如果

时参数为真 , 即

轴上的 点代表的 参数都为真 ;

上述两个坐标轴上的点相当于归纳基础 ;

有了归纳基础后 , 利用坐标轴上的点 , 推导坐标系中间部分的点代表的参数为真 ;

有两个点为真 , 证明比这两个点多

的点为真 , 证明出来 ,

假设

,

证明

为真

证明

为真 :

为真 , 即

为真 ,

可以推导出

为真 ;

在这里插入图片描述

此时在

斜线上的点都为真 , 即上图红框中的点 ;

根据上面斜线上的点可以证明 下一跳斜线上 的点

斜线上的点为真 ;

在这里插入图片描述

此时证明完毕后 , 上图红框中的点都为真 ;

最终证明所有的斜线 ( 左上角 -> 右下角 ) 上的点都为真 ;

在这里插入图片描述