文章目录
\sum 方法
组合恒等式参考博客 :
一、十一个组合恒等式
1 . 组合恒等式 ( 递推式 ) :
( 1 ) 递推式 1 :
\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k} ①
( 2 ) 递推式 2 :
\dbinom{n}{k} = \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} ②
( 3 ) 递推式 3 ( 帕斯卡 / 杨辉三角公式 ) :
\dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1} ③
2 . 回顾四个变下项求和的组合恒等式 : 之前介绍的组合恒等式 中的组合数
\dbinom{n}{k} , 是下项
k 一直在累加改变 , 具有
\sum\limits_{k=0}^{n} 累加性质 , 上项
n 是不变的 ;
( 1 ) 简单和 :
\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n ④
( 2 ) 交错和 :
\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k \dbinom{n}{k} = 0 ⑤
( 3 ) 变下项求和 3 :
\sum\limits_{k=0}^{n} k \dbinom{n}{k} = n 2^{n-1} ⑥
( 4 ) 变下项求和 4 :
\sum_{k=0}^{n} k^2 \dbinom{n}{k} = n ( n+1 ) 2^{n-2} ⑦
3 . 变上项求和 :
\sum\limits_{l=0}^{n} \dbinom{l}{k} = \dbinom{n + 1}{k + 1} ⑧
4 . 积 :
\sum\limits_{l=0}^{n} \dbinom{l}{k} = \dbinom{n + 1}{k + 1} ⑨
5 . 积之和 :
( 1 ) 组合恒等式 ( 积之和 ) 1 :
\sum\limits_{k=0}^{r}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{r-k} = \dbinom{m + n }{r} , \ \ \ \ \ \ r= \min \{ m, n \} ⑩
( 2 ) 组合恒等式 ( 积之和 ) 2 :
\sum\limits_{k=0}^{r}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{k} = \dbinom{m + n }{m} ⑪
二、组合恒等式 证明方法
1 . 已知组合恒等式代入 : 已知的
11 个组合恒等式代入
2 . 二项式定理
n 是正整数 , 对于一切
x 和
y , 有以下定理 :
(x + y)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k}\dbinom{n}{k} 表示
n 元集中取
k 个元素的组合数 , 是 集合组合数
C(n,k) 的另一种写法 ;
另一个常用形式 (
y = 1 ) :
(1 + x)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k基本求和公式 (
x = y =1 ) :
2^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}3 . 幂级数求导、积分
幂函数求导 : ( 很重要 )
y = x^ny' = nx^{n-1}常数的导数是
0 ;
导数四则运算 :
(u \pm v)' = u' \pm v'参考 :
4 . 归纳法
数学归纳法 描述 一个与自然数相关的命题
P(n) ,
根据不同的问题 , 设定
n 最小的值 , 一般情况下从
0 开始 ,
( 1 ) 证明时分为以下两个步骤 :
① 归纳基础 : 先证明 归纳基础 , 如证明
P(0) 为真 ;
② 归纳步骤 : 根据 数学归纳法的种类 , 进行不同方式的证明 , 这里有 第一数学归纳法 和 第二数学归纳法 两种归纳法 ;
( 1 ) 数学归纳法 :
① 第一数学归纳法 : 从
P(n) 推导
P(n + 1)P(0) 为真
假设
P(n) 为真 , 证明
P(n + 1) 也为真
② 第二数学归纳法 : 所有小于
n 的
P(0) , P(1), \cdots , P(n-1) 都为真 , 推导
P(n) 为真 ;
P(0) 为真
假设所有小于
n 的自然数
k , 命题
P(k) 都为真 , 即
P(0) , P(1), \cdots , P(n-1) 都为真 , 推导
P(n) 为真 ;
符号化表示为 :
P(0) \land P(1) \land \cdots \land P(n-1) \to P(n)参考 : 【组合数学】组合数学简介 ( 组合思想 2 : 数学归纳法 | 数学归纳法推广 | 多重归纳思想 )
5 . 组合分析
使用组合分析方法证明组合数时 , 先指定集合 , 指定元素 , 指定两个计数问题 , 公式两边是对同一个问题的计数 ;
( 1 ) 指定集合 : 指定计数是在什么样的集合中产生的 ;
( 2 ) 指定计数问题 : 下面两个计数问题都是同一个问题的计数 ;
- ① 问题 1 : 等号左侧代表的计数问题 ;
- ② 问题 2 : 等号右侧代表的计数问题 ;
( 3 ) 等价说明 : 说明两个计数问题是同一个问题 ;
参考 :
上述证明方法 , 可以根据具体的证明要求 , 选择合适的证明方法 ;
三、组合数 求和
\sum 方法
针对含有组合数的式子的 求和
\sum 方法
1 . 使用帕斯卡公式 :
递推式 3 ( 帕斯卡 / 杨辉三角公式 ) :
\dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1} ③
( 1 ) 合并项 :
\dbinom{n}{k} 可以规约成
\dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1} 之和 ;
( 2 ) 该递推式 , 用于拆项 :
可以将
\dbinom{n}{k} 拆成
\dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1} 之和 ; 在实际使用时 , 经常遇到某些项列出后 , 有
\dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1} 形式的组合数 , 可以合并成一项
\dbinom{n}{k} ;
( 3 ) 也可以变形使用 , 将其中的一项 , 变成其中两项的差 ;
将
\dbinom{n - 1}{k} 拆成
\dbinom{n}{k} -\dbinom{n - 1}{k - 1} 之差 ;
将 将
\dbinom{n - 1}{k - 1} 拆成
\dbinom{n}{k} -\dbinom{n - 1}{k} 之差;
在一堆求和的组合数中 , 拆分成两个数之差 , 可以抵消很多组合数 ;
经常在大的求和公式中进行化简时使用 ;
2 . 级数求和 :
3 . 观察和的结果 , 使用数学归纳法证明 :
猜想一个和的结果 , 然后使用归纳法证明 ;
4 . 利用已知公式求和 :