多项式定理 :
设
为正整数 ,
为实数 ,
上述多项式有
个项 , 这
项相加的
次方 ;
多项式中
:
分步进行如下处理 :
步 : 从
个因式中 , 选
个因式 , 每个因式贡献
个
, 总共贡献
个
, 选取方法有
种 ;
步 : 从
个因式中 , 选
个因式 , 每个因式贡献
个
, 总共贡献
个
, 选取方法有
种 ;
步 : 从
个因式中, 选
个因式 , 每个因式贡献
个
, 总共贡献
个
, 选取方法有
种 ;
根据分步计数原理 , 乘法法则 , 将上面每步的种类个数相乘 , 就是所有的种类个数 :
展开后 , 很多都可以约掉 , 最终得到 :
注意上面的式子是多重集的全排列数
多项式定理 推论 1 :
上述多项式定理中 , 不同的项数 是方程
非负整数解个数
证明过程 :
1 . 每一项之前的系数
含义 :
代表
的指数 ,
相当于有多少个式子 , 在相乘的时候 , 取了
代表
的指数 ,
相当于有多少个式子 , 在相乘的时候 , 取了
代表
的指数 ,
相当于有多少个式子 , 在相乘的时候 , 取了
2 . 一一对应关系 :
的一组不同的选择 , 相当于
的一个解 , 对应了不同的
之前的项 ;
三个对应关系 :
不同的解 ,
配置不一样 , 这些项 不同的配置个数 ,
相当于
的非负整数解个数 ,
又等同于 多项式 展开后的 项的个数 ;
因此求出
的非负整数解个数 ,
就对应了
不同配置的个数 ,
对应了 多项式展开后项的个数 ,
结果是
该数还是多重集的组合数
推导过程 参考多重集组合问题 : 多重集 :
取
种元素的组合 ,
, 推导过程如下 :
在
种元素中 , 取
种元素 , 每种元素取
个不等的元素 ,
使用
个分割线分割
种元素的位置 ,
个分割线相当于组成了
个盒子 , 在每个盒子中放
个不等的元素 ,
放置的总元素的个数是
个 , 分割线个数是
个 , 这里就产生了一个组合问题 , 在
个分割线 和
个元素之间 , 选取
个元素 , 就是 多重集的
情况下的 组合个数 ;
结果是 :
参考 : 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )
多项式定理 推论 3 :
证明过程 :
多项式定理中
如果将
,
就可以得到