下面
个数是等价的 :
① 多项式系数
② 多重集全排列数
③ 不同的球放到不同盒子中 , 不允许有空盒 , 每个盒子放指定个数的球 方案个数 ;
1 . 多项式系数
多项式定理中
的 ① 多项式系数
2 . 多重集全排列数 :
同时又代表了 ② 多重集的全排列数
, 可以简记为
3 . 放球子模型方案个数
③
可以代表放球模型的一个子类型的解个数 ,
不同的球 , 放到
个不同的盒子里 , 注意此处 球 和 盒子都有区别 ,
第
个盒子放
个球 , 第
个盒子放
个球 ,
, 第
个盒子放
个球 的方案数 ;
相当于多步处理 :
步 : 选择
个球 , 放到 第
个盒子中 ; 选取方法有
种 ;
步 : 选择
个球 , 放到 第
个盒子中 ; 选取方法有
种 ;
步 : 选择
个球 , 放到 第
个盒子中 ; 选取方法有
种 ;
根据分步计数原理 , 乘法法则 , 将上面每步的种类个数相乘 , 就是所有的种类个数 :
多项式定理推论 3 :
多重集全排列 :
递推式 :
证明上述递推式 :
左侧
是放球问题的解 ,
右侧第
项
是 指定某个球
必须落到第
个盒子中的方案个数 ;
右侧第
项
是 指定某个球
必须落到第
个盒子中的方案个数 ;
右侧第
项
是 指定某个球
必须落到第
个盒子中的方案个数 ;