常系数线性齐次递推方程 :
常系数 是指数列的 项之前的 系数
都是常数 ,
;
齐次 指的是将数列项移动到左边 , 右边项等于
;
上述称为
阶 常系数线性齐次递推方程 ;
是 递推方程的
个初值 ;
常系数、线性、齐次 概念说明 :
1 . 常系数概念 : 常系数指的是
这些 项之前的系数 , 都是常数 , 如
,
项前的系数是 常数
;
之前栗子中介绍过的递推方程 , 如
都是 常系数线性递推方程 , 不是齐次的 ;
2 . 线性概念 : 第
项是前面若干项
的 线性组合 , 没有指数等关系 , 因此成为线性 ;
3 . 齐次概念 : 在
项之外没有其它元素 , 只有项 , 上述
在项之外还有一个常数
, 该递推方程就不是齐次的 ; 如果改成
, 该递推方程就是齐次的 ;
1 . 特征根、通解、特解
特征根 : 根据原始的 递推方程 , 求出 特征根 ;
通解 : 利用 特征根 , 写出 通解 ;
特解 : 根据 通解 , 代入递推方程初值 , 获取针对这些初值的 特解 , 即针对该数列的解 ,
2 . 通解与特解的关系 :
递推方程与初值 : 递推方程的依赖关系 , 递推方程表达的不止一个数列 , 递推方程是 表达具有相同依赖关系的无穷数列 , 不同的递推方程初值 , 对应着不同的数列 , 递推方程 和 初值才能唯一确定一个数列 ;
递推方程、通解关系 : 通解 实际上是对递推方程 对应的 无穷数列 的共有的解 , 并 不能唯一确定一个数列 ;
特解、数列关系 : 通解的一些待定系数 , 要由初值确定 , 通解代入初值 , 得到的 特解 , 才能唯一确定给定数列 ;
递推方程公式解法内容概要 :